V246A.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V246A.XGP[TEX,DEK] blob sn#382948 filedate 1978-09-27 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000254*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	I␈↓ α∂␈εαANSWER␈αP␈α⎇A␈α␈GES␈αfor␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β	t␈↓ ¬c␈εα(Volume␈α2)
␈β
∨␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ ~␈εα1
␈ββ␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6
␈ββO␈↓ α.␈εε2␈↓ ∧∩␈εε3␈↓ ∧q␈εε2
␈ββS␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ9␈↓ α≥␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈αλ7␈↓ α{␈ε	x␈↓ β∀␈εβ+␈αλ9;␈α→5␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧&␈εβ+␈αλ7␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ+␈απ2␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ6␈α␈.
␈β∧ε␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α∞True␈α␈.␈α (b␈α␈)␈α∂False␈α∞if␈α∞the␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈ic␈α∞system␈↓ π"␈ε	S␈↓ πD␈εβcon␈α}tains␈α∞\␈α␈zero␈α∞d␈α␈ivisors,"␈α∂n␈α␈on␈α␈zero
␈β∧-␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	who␈α␈se␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈α	is␈α
zero␈α␈,␈α
as␈α	i␈α↓n␈α	ex␈α}ercise␈α	1;␈α
oth␈α␈erwise␈α
tru␈α␈e.␈α∃(c)␈α
Tru␈α␈e␈α
wh␈α␈en␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
e␈ε↔≤␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∧U␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αfa␈α␈l␈α↓se␈αin␈α
gen␈α␈eral␈αwhe␈α␈n␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ=␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬&␈εβ,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αmigh␈α␈t␈αc␈α␈anc␈α␈el.
␈β¬λ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈αt␈α␈hat␈↓ βO␈ε	r␈↓ βh␈ε↔∀␈↓ ∧∪␈ε	s␈↓ ∧!␈εβ.␈αFor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬;␈ε	k␈↓ ¬U␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	r␈↓ ε≠␈εβth␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αis␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ<␈ε	m␈↓ λe␈εβ(␈↓ λp␈ε	k␈↓ 	λ␈εβ+␈αλ1␈α␈);␈αfor␈↓ 
⊗␈ε	r␈↓ 
.␈ε↔∀␈↓ 
Y␈ε	k␈↓ 
s␈ε↔∀␈↓ ∨␈ε	s
␈β¬∩␈↓ λ/␈εε1␈↓ λX␈εε2
␈β¬/␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈↓ α	␈ε	m␈↓ α2␈ε	m␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	r␈↓ α{␈εβ+␈αε1);␈αfor␈↓ ∧¬␈ε	s␈↓ ∧≤␈ε↔∀␈↓ ∧F␈ε	k␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε	r␈↓ ¬∨␈εβ+␈↓ ¬G␈ε	s␈↓ ¬←␈εβit␈αis␈↓ ε ␈ε	m␈↓ εI␈ε	m␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π∩␈εβ+␈↓ π:␈ε	s␈↓ πN␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αε␈␈↓ λ4␈ε	k␈↓ λE␈εβ).␈αTh␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈α
up␈α␈per␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈β¬:␈↓ α%␈εε1␈↓ αN␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εf␈εε2
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alid␈α
for␈αa␈α␈ll␈↓ α{␈ε	k␈↓ β⊗␈εβis␈↓ β7␈ε	m␈↓ β`␈ε	m␈↓ ∧	␈εβ(␈↓ ∧∀␈ε	r␈↓ ∧)␈εβ+␈απ1).␈α_(Th␈α␈e␈αs␈α␈olv␈α␈er␈α
of␈α
this␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
wil␈α↓l␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αfa␈α␈ctor␈α
the
␈β¬b␈↓ βS␈εε1␈↓ β|␈εε2
␈β¬z␈↓ β¬␈εε7␈↓ βd␈εε6␈↓ ∧C␈εε5␈↓ ¬!␈εε4␈↓ ε␈εε3␈↓ ε←␈εε2
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β→␈εβ+␈αλ2␈↓ βR␈ε	x␈↓ βx␈εβ+␈απ3␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ+␈αλ3␈↓ ¬o␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ+␈αλ3␈↓ εM␈ε	x␈↓ εs␈εβ+␈απ2␈↓ π,␈ε	x␈↓ πE␈εβ+␈αλ1␈α␈.)
␈βε-␈↓ εd␈εt
␈βε1␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIf␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	po␈α␈lyn␈α␈omials␈α	h␈α␈as␈α	few␈α␈er␈α	th␈α␈an␈↓ εS␈εβ2␈↓ εv␈εβnon␈α␈zero␈αλcoe}␈α␈cien␈α␈ts,␈α	the␈αλprod␈α␈uc␈α␈t␈α	can␈αλbe
␈βεY␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rmed␈αλby␈αλp␈α␈utting␈αλex␈α␈actly␈↓ ∧J␈ε	t␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈αλzeros␈αλbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α	e␈α␈ach␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts,␈α	then␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing
␈βε}␈↓ λ$␈ε∃A␈α␈ND
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εβin␈α∞th␈α␈e␈α∞bina␈α␈ry␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞system␈α␈,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α∞u␈α␈sing␈α∞a␈α∞log␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈↓ λp␈εβop␈α␈eration␈α
(prese␈α␈n␈α␈t␈α∞on
␈βπ(␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αcom␈α␈pu␈α␈ters,␈α∞c␈α␈f.␈α∞S␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈)␈α
to␈α
zero␈αou␈α␈t␈α
the␈αextr␈α␈a␈α
bits.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∞if
␈βπP␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈εβ=␈α3␈α␈,␈αthe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbec␈α␈ome␈α(10␈α␈010␈α␈000␈α␈01␈↓ λp␈εβ)␈↓ 	∂␈ε↔α␈εβ␈αλ(10␈α␈000␈α␈010␈α␈01␈↓ 
j␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈βπZ␈↓ λ{␈εε2␈↓ 
u␈εε2
␈βπt␈↓ ¬∃␈ε∃AND
␈βπw␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈001␈α␈001␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈100␈α␈1␈↓ ∧∂␈εβ)␈↓ ∧'␈εβ;␈α∂if␈α∞we␈↓ ¬a␈εβthis␈α∞re␈α␈sult␈α∞with␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α␈t␈α
(100␈α␈100␈α␈1␈↓ 
≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
I␈εβ10␈α␈01␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βλα␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλdesired␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈αλi␈α↓s␈αλob␈α␈taine␈α␈d.␈α
A␈α	simil␈α↓a␈α␈r␈α	te␈α␈chn␈α␈ique␈αλca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈αλused␈αλto␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈ly␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βλG␈↓ ↓H␈εβwith␈απno␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts,␈α	wh␈α␈en␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απkn␈α␈o␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈ts␈απwi␈α↓ll␈αλn␈α␈ot␈αλb␈α␈e␈αλto␈α␈o␈αλlarg␈α␈e.
␈βλu␈↓ λM␈εn
␈βλz␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβPolyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬0␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αa␈α␈s␈↓ πr␈ε	U␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	x␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λe␈εβ+␈↓ 	∞␈ε	U␈↓ 	0␈εβ(␈↓ 	;␈ε	x␈↓ 	L␈εβ)␈αwhere␈α
deg␈α␈(␈↓ 
␈␈ε	U␈↓ !␈εβ)
␈β	∧␈↓ λλ␈εε1␈↓ 	#␈εε0␈↓ ∃␈εε1
␈β	≥␈↓ ¬λ␈εn␈↓ π¬␈εn␈↓ 
¬␈εε2␈↓ 
⊃␈εn␈↓ 
g␈εn
␈β	≡␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ε∃␈εα)(␈↓ λ⊂␈εα)
␈β	!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
d␈α␈eg(␈↓ αH␈ε	U␈↓ αj␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ β1␈ε	n␈↓ βE␈εβ;␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ∧-␈ε	U␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ+␈↓ ¬L␈ε	U␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈ε	x␈↓ ε
␈εβ)␈↓ ε-␈ε	V␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εi␈εβ)␈↓ εt␈ε	x␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πI␈ε	V␈↓ πh␈εβ(␈↓ πs␈ε	x␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ)␈εβ=␈↓ λX␈ε	U␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ)␈↓ 	"␈ε	V␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	]␈εβ)(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
+␈εβ+␈↓ 
U␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	+
␈β	,␈↓ α]␈εε0␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬a␈εε0␈↓ ε@␈εε1␈↓ π\␈εε0␈↓ λm␈εε1␈↓ 	4␈εε1
␈β	E␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ πα␈εn
␈β	F␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β~␈εα)(␈↓ ∧t␈εα)
␈β	I␈↓ ↓T␈ε	U␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	x␈↓ α∩␈εβ)␈α	+␈↓ αQ␈ε	U␈↓ αs␈εβ(␈↓ α}␈ε	x␈↓ β∂␈εβ)␈↓ β2␈ε	V␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈α	+␈↓ ∧-␈ε	V␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	U␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε∪␈εβ)␈↓ ε≡␈ε	V␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	x␈↓ εZ␈εβ)(␈↓ εp␈ε	x␈↓ π≠␈εβ+␈α
1␈α␈).␈α∨(T␈α↓h␈α␈is␈α∞equ␈α␈ation␈α
assu␈α␈mes␈α
tha␈α␈t
␈β	S␈↓ ↓i␈εε1␈↓ αf␈εε0␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ¬j␈εε0␈↓ ε1␈εε0
␈β	p␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αis␈αb␈α␈eing␈αd␈α␈on␈α␈e␈αmod␈α␈ulo␈α2␈α␈.␈α↓)␈α→Th␈α}us␈αEqs.␈α4.3.3↑␈α␈3,␈α4,␈α5␈αho␈α␈ld.
␈β
_␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αS␈α␈.␈αA.␈αCo␈α␈ok␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αt␈α␈hat␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.3C␈αcan␈α
be␈α
exten␈α␈de␈α␈d␈αin␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈β
@␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y,␈απand␈α¬ex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.6.4↑1␈α␈4␈αεdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈αεa␈αεmeth␈α␈od␈αεr␈α␈equ␈α␈i␈α↓rin␈α␈g␈αεev␈α␈e␈α␈n␈αεfew␈α␈er␈αεope␈α␈ration␈α␈s␈απfo␈α␈r␈απla␈α␈rge␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β
g␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αλthes␈α␈e␈αλidea␈α␈s␈αλare␈αλn␈α␈ot␈αλu␈α␈seful␈αλfor␈αλ\␈α␈spa␈α␈rse"␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απ(␈α↓h␈α␈av␈α␈ing␈αλm␈α␈ostly␈αλz␈α␈ero␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts).
␈βd␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.1
␈β2␈↓ β0␈εε3␈↓ βN␈εε3␈↓ ∧D␈εε2␈↓ ∧b␈εε2␈↓ π␈εε3␈↓ 	↑␈εε2
␈β6␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	q␈↓ α≠␈εβ(␈↓ α&␈ε	x␈↓ α7␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈απ↓␈↓ β∨␈εβ2␈↓ β<␈ε	x␈↓ βb␈εβ+␈απ0␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧P␈ε	x␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ2␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ8␈α	=␈α
8␈↓ εn␈ε	x␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈απ4␈↓ πM␈ε	x␈↓ πf␈εβ+␈απ8;␈↓ λA␈ε	r␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	=␈α	28␈↓ 	M␈ε	x␈↓ 	r␈εβ+␈αλ4␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
D␈εβ+␈αλ8.
␈βi␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈α
mo␈α␈nic␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α
du␈α␈ring␈α
Euclid's␈α
algorith␈α␈m␈α∞h␈α␈as␈α
the
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∂(1,␈α¬5,␈αε6,␈α¬6,␈αε1␈α␈,␈αε6,␈αε3␈α␈),␈α⊃(1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε4,␈α¬5),␈α⊂(1,␈αε5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈),␈α⊂(␈α↓1␈α␈,␈αε3,␈α¬4,␈αε6),␈α⊂0␈α␈.␈α↔Henc␈α␈e␈α∂the
␈β
4␈↓ ∧v␈εε3␈↓ ¬X␈εε2
␈β
8␈↓ ↓H␈εβg␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
diviso␈α␈r␈α∞is␈↓ ∧d␈ε	x␈↓ ¬␈εβ+␈α	3␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ+␈α
4␈↓ ε)␈ε	x␈↓ εD␈εβ+␈α
6␈α␈.␈α∨(The␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∞of␈α∞a
␈β
`␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αan␈α␈d␈αits␈αrev␈α}erse␈αis␈αalwa␈α␈ys␈αsymm␈α␈etric,␈αin␈αthe␈αsen␈α␈se␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αa␈αun␈α␈i␈α↓t␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αi␈α↓ts␈αo␈α}w␈α↓n␈α
rev␈α}erse.)
␈β∞;␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X␈αis␈αva␈α␈li␈α↓d␈α␈,␈αwi␈α↓th␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ 	i␈ε	S␈↓ 

␈εβsu␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αWhen␈α	the␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
termina␈α␈tes,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πZ␈ε	U␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ∩␈εβ)␈α	=␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ|␈ε	x␈↓ 	
␈εβ),␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	D␈εβ(␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	`␈εβ)␈α	=␈↓ 
∨␈ε	u␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
[␈εβ).␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β∞m␈↓ λd␈εε2␈↓ 
2␈εε1
␈β∂
␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈εβde␈α␈g␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	u␈↓ αj␈εβ),␈↓ β
␈ε	n␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈εβde␈α␈g␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧ ␈εβ)␈α↓.␈αIt␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αtha␈α␈t␈↓ λ←␈εβdeg␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≤␈ε	u␈↓ 	<␈εβ)␈αλ+␈↓ 	w␈εβdeg␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
5␈ε	v␈↓ 
P␈εβ)␈α	=␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∂∀␈↓ 	0␈εε3␈↓ 
C␈εε1
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α$␈εβ)␈α+␈↓ αf␈εβd␈α␈eg␈↓ β↔␈εβ(␈↓ β#␈ε	v␈↓ β>␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧)␈εβ,␈α⊃a␈α␈fter␈α⊂ste␈α␈p␈α∂X3,␈α⊃th␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈α∂the␈α∂ex␈α␈e␈α␈cutio␈α␈n␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂a␈α␈lgorith␈α␈m,
␈β∂<␈↓ α_␈εε3␈↓ β1␈εε2
␈β∂V␈↓ 	↔␈εα(␈↓ 
 ␈εα)
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈↓ β≠␈ε	m␈↓ βB␈ε↔∃␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧α␈εβ.␈α
Henc␈α␈e␈αif␈↓ ¬≠␈ε	m␈↓ ¬D␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	n␈↓ ε%␈εβare␈αgrea␈α␈ter␈αth␈α␈an␈↓ λ≥␈ε	d␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λe␈εβdeg␈↓ 	#␈εβgcd␈↓ 	U␈εβ(␈↓ 	`␈ε	u␈↓ 	t␈εβ,␈↓ 
β␈ε	v␈↓ 
∀␈εβ)␈↓ 
7␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	U␈↓ α ␈εβ)␈α	<␈↓ α←␈ε	m␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β+␈ε	d␈↓ β=␈εβ,␈↓ βQ␈εβdeg␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ)␈α	<␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬(␈ε	d␈↓ ¬:␈εβ;␈αthe␈α
ex␈α␈act␈αd␈α␈eg␈α␈rees␈αa␈α␈re␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ/␈ε↔␈␈↓ λW␈ε	d␈↓ λ⎇␈εβand␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	X␈ε↔␈␈↓ 
↓␈ε	d␈↓ 
≥␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ⊂␈ε	d
␈β⊂␈↓ λf␈εε1␈↓ 
⊂␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβis␈αthe␈αd␈α␈egree␈αof␈αthe␈αsec␈α␈on␈α␈d-last␈αno␈α␈nzer␈α␈o␈α
re␈α␈main␈α␈der.␈α∂If␈↓ πg␈ε	d␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ1␈εβmin␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	m␈↓ 	⊃␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	n␈↓ 	4␈εβ),␈α
say␈↓ 
∩␈ε	d␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
\␈ε	n␈↓ 
p␈εβ,␈α∞w␈α␈e
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	U␈↓ α1␈εβ(␈↓ α=␈ε	x␈↓ αN␈εβ)␈α	=␈α
0␈αa␈α␈nd␈↓ βi␈ε	V␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≡␈εβ)␈α	=␈α	1.
␈β⊂s␈↓ βr␈εm␈↓ ε≠␈εn␈↓ λX␈εm␈↓ 
#␈εn
␈β⊂w␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε	u␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β≡␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	x␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αan␈α␈d␈↓ ¬→␈ε	v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬G␈εβ)␈α=␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
th␈α␈e␈αiden␈α}tity␈α(␈↓ λF␈ε	x␈↓ λw␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ 	B␈εβm␈α␈od␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=
␈β⊃≠␈↓ ↓Y␈εm␈↓ ↓u␈εεmo␈α␈d␈↓ α(␈εn
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ αB␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞sh␈α␈o␈α␈ws␈α∞that␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞occu␈α␈rring␈α∞d␈α␈urin␈α␈g␈α∞the␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∞a␈α␈re␈α∞mon␈α␈ic,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ε ␈εε2␈α␈1␈↓ λL␈εε13
␈βα*␈↓ ↓H␈εβwith␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α∂Whe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈α=␈↓ ε∞␈ε	x␈↓ εA␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αa␈α␈nd␈↓ πJ␈ε	v␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε	x␈↓ πx␈εβ)␈α=␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 
@␈ε	V␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈βαN␈↓ ↓Y␈εε11␈↓ α0␈εε8␈↓ αz␈εε6␈↓ βE␈εε3␈↓ ε␈εε1␈α␈9␈↓ εc␈εε1␈α␈6␈↓ π:␈εε1␈α␈4␈↓ λ⊂␈εε11␈↓ λg␈εε8␈↓ 	2␈εε6␈↓ 	|␈εε3
␈βαO␈↓ 
p␈εα(
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α∨␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈↓ αi␈ε	x␈↓ β␈εβ+␈↓ β3␈ε	x␈↓ βW␈εβ+␈αε1␈α	an␈α␈d␈↓ ∧W␈ε	U␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈ε	x␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ ¬z␈ε	x␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εQ␈ε	x␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π(␈ε	x␈↓ πX␈εβ+␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λV␈ε	x␈↓ λz␈εβ+␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	D␈εβ+␈↓ 	k␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓.␈↓ 
|␈εβSee
␈βαv␈↓ 	↑␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αEq.␈α3.3.3↑2␈α␈9,␈αwhich␈α
giv␈α␈es␈αa␈α␈n␈αaltern␈α␈ativ␈α}e␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λπ␈ε	U␈↓ λ"␈εβ(␈↓ λ-␈ε	x␈↓ λ?␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ 	⊗␈ε	V␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	x␈↓ 	J␈εβ).
␈ββ,␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈α
the␈α
qu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∧&␈ε	q␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈α∞o␈α␈nly␈α
on␈↓ εi␈ε	v␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε	x␈↓ π↔␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
|r␈α␈st␈↓ λu␈ε	m␈↓ 	≠␈ε↔␈␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	g␈εβco␈α␈e}cien␈α}ts␈α∞o␈α␈f
␈ββS␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ),␈αt␈α␈he␈α
re␈α␈main␈α␈der␈↓ βj␈ε	r␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	=␈↓ ∧T␈ε	u␈↓ ∧h␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬=␈ε	q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ¬s␈ε	v␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	x␈↓ ε!␈εβ)␈α
is␈α
u␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α	a␈α␈nd␈α	ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α↓.␈αHen␈α␈ce␈αeach␈αs␈α␈tep␈αof␈αthe␈αalgo␈α␈rithm␈αma␈α␈y␈αbe␈αrega␈α␈rde␈α␈d␈αas␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈ers;
␈β∧"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αis␈αm␈α␈uch␈α
mor␈α␈e␈αw␈α␈el␈α↓l-b␈α␈eha␈α␈v␈α␈ed␈α
tha␈α␈n␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈β∧F␈↓ ε↔␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε=␈εk␈↓ 
z␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈β∧J␈↓ α␈εβThe␈αλp␈α␈roba␈α␈bility␈α	t␈α␈hat␈↓ ∧=␈ε	n␈↓ ∧f␈εβ=␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬)␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε	k␈↓ ¬g␈εβis␈↓ εε␈ε	p␈↓ εJ␈εβ(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α∧1/␈↓ π0␈ε	p␈↓ πA␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈↓ λ≥␈ε	t␈↓ λ2␈εβ=␈α
0␈αλwith␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ 
i␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β∧U␈↓ ∧P␈εε1
␈β∧r␈↓ ↓H␈εβEa␈α␈ch␈αλsu␈α␈cceed␈α␈ing␈αλste␈α␈p␈αλh␈α␈as␈αλessen␈α}ti␈α↓a␈α␈ll␈α↓y␈απthe␈αλsa␈α␈me␈αλb␈α␈eha␈α␈vior;␈α	he␈α␈nce␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλsee␈αλth␈α␈at␈αλa␈α␈n␈α␈y␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈β¬∃␈↓ 	i␈εt␈↓ 
∀␈εn
␈β¬→␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈α∞d␈α␈eg␈α␈rees␈↓ βr␈ε	n␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≥␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬↔␈ε	n␈↓ ¬4␈εβ,␈ε↔␈α∞␈1␈εβ␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α(␈↓ 		␈ε	p␈↓ 	#␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈↓ 	↑␈εβ)␈↓ 	s␈εβ/␈↓ 
β␈ε	p␈↓ 
%␈εβ.␈α⊃To␈α
|␈α␈nd
␈β¬$␈↓ ∧0␈εε1␈↓ ¬*␈εt
␈β¬A␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ β}␈ε	f␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ,␈↓ ∧H␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬β␈ε	n␈↓ ¬ ␈εβ),␈α
let␈↓ ¬r␈ε	S␈↓ ε→␈εβb␈α␈e␈αthe␈αsu␈α␈m␈αof␈↓ πp␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ+␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λu␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈β¬J␈↓ 	5␈ε↓P
␈β¬K␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬⊗␈εt␈↓ εβ␈εt␈↓ λ≡␈εε1␈↓ 	λ␈εt
␈β¬d␈↓ 
h␈εt␈↓ ∪␈εn
␈β¬h␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈↓ α∂␈ε	n␈↓ α8␈εβ>␈↓ αc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∪␈εβ>␈↓ β>␈ε	n␈↓ βd␈ε↔∃␈εβ␈α	0␈α	ha␈α␈vin␈α␈g␈α	a␈α	giv␈α}en␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ ε␈␈ε	t␈↓ π␈εβ;␈α
th␈α␈en␈α	t␈α␈he␈α	av␈α}erag␈α␈e␈α	is␈↓ 	k␈ε	S␈↓ 
¬␈εβ(␈↓ 
⊂␈ε	p␈↓ 
&␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓ 
]␈εβ)␈↓ 
q␈εβ/␈↓ α␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β¬s␈↓ α#␈εε1␈↓ βQ␈εt␈↓ 	{␈εt
␈β¬t␈↓ ¬Y␈ε↓␈␈↓ ¬x␈ε↓↓
␈β¬{␈↓ 	[␈εt
␈βε∞␈↓ ¬g␈εn
␈βε∃␈↓ α␈εβLet␈↓ αE␈ε	f␈↓ αU␈εβ(␈↓ α`␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	n␈↓ βg␈εβ)␈α	=␈↓ ∧&␈ε	t␈↓ ∧2␈εβ;␈αλthen␈↓ ¬␈ε	S␈↓ ¬/␈εβ=␈↓ εε␈εβ(␈↓ ε⊃␈ε	t␈↓ ε∨␈εβ+␈αβ1␈α␈)␈α↓,␈αλso␈απth␈α␈e␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λq␈εβ(1␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1/␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	e␈εβ).␈α
Similarly,␈αλif
␈βε ␈↓ αs␈εε1␈↓ β]␈εt␈↓ ¬≤␈εt
␈βε"␈↓ ¬t␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ εd␈ε↓↓␈↓ 	α␈ε↓␈␈↓ 	 ␈ε↓↓
␈βε%␈↓ ¬k␈εt
␈βε<␈↓ εα␈εn␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	⊂␈εn
␈βεD␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε	n␈↓ αi␈εβ)␈α	=␈↓ β(␈ε	n␈↓ βH␈εβ+␈↓ βj␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	n␈↓ ∧O␈εβ,␈απthen␈↓ ¬&␈ε	S␈↓ ¬I␈εβ=␈↓ εr␈εβ,␈απand␈α¬th␈α␈e␈αεav␈α}era␈α␈ge␈αεis␈↓ 	.␈εβ(1␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈/␈↓ 

␈ε	p␈↓ 
≡␈εβ).␈α
Fina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈βεO␈↓ ↓v␈εε1␈↓ α←␈εt␈↓ β;␈εε1␈↓ ∧F␈εt␈↓ ¬6␈εt
␈βεQ␈↓ λF␈ε↓␈␈↓ 	
␈ε↓↓␈↓ 
3␈ε↓␈␈↓ 
x␈ε↓↓
␈βεT␈↓ ε∧␈εε2␈↓ ε2␈εt␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∩␈εε2
␈βεk␈↓ λT␈εn␈↓ λe␈εε+2␈↓ 
A␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈βεs␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓f␈ε	f␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α\␈εβ,␈↓ αj␈ε	n␈↓ βπ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βQ␈ε	n␈↓ βk␈ε↔␈␈↓ ∧∩␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ)␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬	␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬5␈εβ+␈αε(␈↓ ¬g␈ε	n␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	n␈↓ εs␈εβ)␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ πx␈ε	S␈↓ λ≤␈εβ=␈↓ 	 ␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	T␈ε	n␈↓ 	o␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ␈εβ+
␈βε⎇␈↓ α∀␈εε1␈↓ α⎇␈εt␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧O␈εε1␈↓ ¬z␈εt␈↓ ε∧␈ε~␈␈εε1␈↓ εi␈εt␈↓ π⊃␈εt␈↓ λ	␈εt
␈βπ␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓↓␈↓ α~␈ε↓␈␈↓ α8␈ε↓↓␈↓ ∧o␈ε↓␈␈↓ ¬3␈ε↓↓
␈βπβ␈↓ λX␈εt␈↓ λa␈εε+2␈↓ 
E␈εt␈↓ 
N␈εε+␈α↓1
␈βπ~␈↓ ↓V␈εn␈↓ ↓f␈εε+1␈↓ α(␈εn␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬
␈εε+1
␈βπ≡␈↓ 	7␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈βπ∨␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈βπ"␈↓ αF␈εβ,␈αand␈α
the␈α
av␈α␈er␈α␈age␈αis␈↓ ¬H␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε_␈εβ+␈απ1)␈↓ ε\␈ε	p␈↓ εm␈εβ/(␈↓ π	␈ε	p␈↓ π!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ"␈ε	p␈↓ λ3␈εβ/␈α␈(␈↓ λN␈ε	p␈↓ λg␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ 	D␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ 
1␈ε	p␈↓ 
x␈εβ)␈↓ β␈εβ.
␈βπ2␈↓ ↓j␈εε2␈↓ α+␈εt␈↓ ¬∩␈εε2
␈βπI␈↓ α␈εβAs␈αa␈αcon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αsee␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ε$␈ε	p␈↓ ε@␈εβi␈α↓s␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αt␈α␈here␈αi␈α↓s␈αv␈α␈ery␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αtha␈α␈t
␈βπq␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ α↔␈εβ=␈↓ αB␈ε	n␈↓ αi␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfor␈αall␈↓ ∧∩␈ε	j␈↓ ∧!␈εβ.␈α≠(If␈αth␈α␈is␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αfa␈α␈i␈α↓ls␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αration␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈αit␈αfails␈αfo␈α␈r
␈βπ{␈↓ ↓[␈εj␈↓ ↓g␈εε+1␈↓ αV␈εj
␈βλ_␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓u␈ε	p␈↓ αε␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
fur␈α␈ther␈α
ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈α
for␈α
the␈α
tex␈α␈t's␈αcla␈α␈i␈α↓m␈α
th␈α␈at␈α
Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αC␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
alway␈α␈s
␈βλ@␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α↔␈ε	∞␈↓ α9␈εβ=␈↓ αd␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ=␈α	1.)
␈βλK␈↓ α#␈εε2
␈βλr␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβUsing␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αdev␈α}elop␈α␈ed␈αin␈α
ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α4,␈αwith␈↓ πV␈ε	f␈↓ πf␈εβ(␈↓ πq␈ε	n␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λL␈εβ,␈↓ λZ␈ε	n␈↓ λw␈εβ)␈α
=␈↓ 	6␈ε	∞␈↓ 	h␈εβ,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t
␈βλ⎇␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λn␈εt␈↓ 	B␈εn␈↓ 	[␈εε0
␈β	∧␈↓ 	R␈ε
t
␈β	~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αis␈α1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ∧0␈ε	p␈↓ ∧L␈εβi␈α↓f␈↓ ∧l␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α1␈α
i␈α↓f␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε1␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β	L␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAssu␈α␈ming␈α
that␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α}t␈αterms␈↓ εε␈ε	u␈↓ ε~␈εβ(0)␈αan␈α␈d␈↓ π␈ε	v␈↓ π≡␈εβ(0)␈α
are␈αn␈α␈on␈α␈zero␈α␈,␈αima␈α␈gine␈α
a␈α\␈α␈righ␈α␈t-to␈α␈-
␈β	p␈↓ ε<␈εm␈↓ εT␈ε~␈␈↓ εm␈εn
␈β	t␈↓ ↓H␈εβleft"␈απd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈απalgo␈α␈rithm,␈↓ ∧&␈ε	u␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ)␈α	=␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ)␈↓ ¬N␈ε	q␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ)␈αα+␈↓ ε+␈ε	x␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π(␈εβ),␈α	wh␈α␈ere␈↓ λ!␈εβdeg␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	r␈↓ λm␈εβ)␈α	<␈↓ 	,␈εβd␈α␈eg␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 	z␈εβ).␈α
W␈α↓e␈απob␈α␈tain
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβa␈αgcd␈αalgo␈α␈rithm␈αanlog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αAlgo␈α␈rithm␈α4.5.2B␈↓ εh␈εβ,␈αwhich␈αi␈α↓s␈αessen␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β
C␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
th␈α␈e␈α\␈α␈rev␈α␈ers␈α␈e"␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈αin␈α␈pu␈α␈ts␈α(cf.␈αex␈α}ercise␈α
2),␈αafte␈α␈rwards␈α
rev␈α}ersing␈α
the
␈β
j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
m␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈y␈αan␈α
ap␈α␈prop␈α␈riate␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ πB␈ε	x␈↓ πS␈εβ.
␈β≥␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α
un␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε	S␈↓ βj␈εβ(as␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αzero).
␈βO␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβIf␈↓ α0␈ε	u␈↓ αD␈εβ(␈↓ αO␈ε	x␈↓ α`␈εβ)␈α
=␈↓ β&␈ε	v␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε	x␈↓ βT␈εβ)␈↓ β←␈ε	w␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∀␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬→␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬I␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
while␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	@␈εβ)␈α
and␈↓ 
≠␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βv␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α∞th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ εε␈ε	m␈↓ ε0␈εβand␈↓ εs␈ε	n␈↓ π∀␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λR␈ε↔↓␈↓ λd␈ε	v␈↓ λu␈εβ(␈↓ 	↓␈ε	x␈↓ 	∩␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 	m␈ε	n␈↓ 

␈ε↔↓␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β≡␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈αNo␈α␈w␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε	x␈↓ ∧d␈εβ)␈αis␈αprimitiv␈α␈e␈α␈,␈αso␈α
we␈αh␈α␈av␈α}e
␈βi␈↓ ¬{␈εα(␈↓ εu␈εα)␈↓ π,␈εα(␈↓ λ$␈εα)
␈βl␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
ε␈↓ ¬V␈εβpp␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε,␈ε↔↓␈↓ ε=␈ε	v␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε	x␈↓ εj␈εβ)␈↓ ππ␈εβpp␈↓ π8␈ε	n␈↓ πS␈ε↔↓␈↓ πd␈ε	w␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ→␈εβ)␈↓ λ0␈εβ.
␈β
A␈↓ π↓␈εα(␈↓ 	/␈εα)␈↓ 
β␈εα(
␈β
D␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβWe␈α	can␈αλexten␈α␈d␈α	Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α	E␈α	as␈α	follo␈α␈ws:␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ π
␈ε	u␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πI␈εβ),␈↓ πc␈ε	u␈↓ λα␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λ∨␈εβ),␈↓ λ9␈ε	u␈↓ λY␈εβ,␈↓ λg␈ε	u␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	x␈↓ 	$␈εβ)␈↓ 	D␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∂␈ε	v␈↓ 
*␈εβ(␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓,␈↓ 
`␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β
N␈↓ π ␈εε1␈↓ πv␈εε2␈↓ λL␈εε3␈↓ λz␈εε4␈↓ 
≥␈εε1␈↓ 
o␈εε2
␈β
h␈↓ α5␈εα)
␈β
k␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ,␈↓ ↓r␈ε	v␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε	x␈↓ α*␈εβ)␈↓ αQ␈εβbe␈α⊃q␈α␈ua␈α␈dru␈α␈ples␈α⊃th␈α␈at␈α⊂satisfy␈α⊃th␈α␈e␈α⊃re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ π:␈ε	u␈↓ πZ␈εβ(␈↓ πe␈ε	x␈↓ πw␈εβ)␈↓ λα␈ε	u␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈α+␈↓ λu␈ε	u␈↓ 	∃␈εβ(␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	1␈εβ)␈↓ 	<␈ε	v␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	x␈↓ 	j␈εβ)␈α∪=␈↓ 
<␈ε	u␈↓ 
\␈ε	u␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β
v␈↓ ↓V␈εε3␈↓ α␈εε4␈↓ πN␈εε1␈↓ 	λ␈εε2␈↓ 
O␈εε3␈↓ 
o␈εε4
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈↓ α␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α
+␈↓ αz␈ε	v␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈↓ β=␈ε	v␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βk␈εβ)␈α∂=␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧P␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ)␈α↓.␈α∀The␈α∞ex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞starts␈α∞with␈α∞th␈α␈e␈α∞qu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∞≡␈↓ ↓V␈εε1␈↓ β	␈εε2␈↓ ∧C␈εε3␈↓ ∧↑␈εε4
␈β∞8␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧U␈εα(␈↓ πλ␈εα)
␈β∞;␈↓ ↓T␈εβ1␈α␈,␈αε0,␈↓ α∪␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ αQ␈εβ(␈↓ α\␈ε	u␈↓ αp␈εβ),␈↓ β
␈εβp␈α␈p␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	u␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	x␈↓ βj␈εβ))␈↓ ∧⊗␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧a␈εβ0␈α␈,␈αε1,␈↓ ¬∨␈εβcon␈α}t␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	v␈↓ ¬z␈εβ),␈↓ ε∀␈εβp␈α␈p␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε	v␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εr␈εβ))␈↓ π≥␈εβan␈α␈d␈α	ma␈α␈nipu␈α␈lates␈α	the␈α␈m␈α	i␈α↓n␈αλsuch␈αλa␈α	way
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈reserv␈α}e␈α
the␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns,␈α∞whe␈α␈re␈↓ εM␈ε	u␈↓ εl␈εβ(␈↓ εw␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α
and␈↓ πd␈ε	v␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ)␈α∞ru␈α␈n␈α
thro␈α␈ug␈α␈h␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞se␈α␈-
␈β∞m␈↓ ε`␈εε4␈↓ πs␈εε4
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ce␈α∞as␈↓ αd␈ε	u␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β∃␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	x␈↓ ∧!␈εβ)␈α∂d␈α␈o␈α∞i␈α↓n␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞E␈↓ εO␈εβ.␈α⊗If␈↓ π∪␈ε	a␈↓ π#␈ε	u␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π`␈εβ)␈α∂=␈↓ λ*␈ε	q␈↓ λ9␈εβ(␈↓ λD␈ε	x␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈ε	v␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	_␈εβ)␈α
+␈↓ 	X␈ε	b␈↓ 	e␈ε	r␈↓ 	t␈εβ(␈↓ 	␈␈ε	x␈↓ 
⊃␈εβ),␈α∂we␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β∂∀␈↓ π7␈εε4␈↓ λo␈εε4
␈β∂.␈↓ ↓s␈εα(␈↓ β≥␈εα)␈↓ ∧6␈εα(␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ε'␈εα(␈↓ πB␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	v␈↓ ↓␈␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α<␈εβ),␈↓ αU␈ε	u␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β∩␈εβ)␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β`␈ε	q␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧⊗␈ε	u␈↓ ∧B␈ε	v␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ∧y␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬∪␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε3␈ε	r␈↓ εK␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εh␈εβ),␈↓ πα␈ε	r␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈↓ πN␈εβ,␈α∩wh␈α␈ere␈↓ λN␈ε	r␈↓ λf␈εβ(␈↓ λq␈ε	x␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	>␈εβ)␈α+␈↓ 
␈ε	r␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
5␈εβ)␈↓ 
A␈ε	v␈↓ 
R␈εβ(␈↓ 
]␈ε	x␈↓ 
n␈εβ)␈α∩=
␈β∂<␈↓ ↓g␈εε3␈↓ α∩␈εε1␈↓ αi␈εε2␈↓ ∧)␈εε3␈↓ ∧P␈εε1␈↓ ¬"␈εε2␈↓ ε?␈εε1␈↓ π∞␈εε2␈↓ λZ␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈β∂Y␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈ε	u␈↓ ↓u␈ε	v␈↓ α⊂␈ε	r␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ),␈α
so␈α	the␈α	exte␈α␈nd␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
c␈α␈an␈α	pre␈α␈serv␈α␈e␈α	the␈α	d␈α␈esired␈α	relation␈α␈s.␈αIf␈↓ 	o␈ε	u␈↓ 
β␈εβ(␈↓ 
∞␈ε	x␈↓ 
∨␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β∂d␈↓ ↓h␈εε3␈↓ αβ␈εε3
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αprime,␈αthe␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈αalgorith␈α␈m␈αev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α|n␈α␈ds␈↓ λS␈ε	r␈↓ λa␈εβ(␈↓ λm␈ε	x␈↓ λ}␈εβ)␈αof␈αde␈α␈gree␈αze␈α␈ro,␈α
a␈α␈nd
␈β⊂%␈↓ π2␈εα(
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αobt␈α␈ain␈↓ αd␈ε	U␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	r␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∃␈εβ),␈↓ ∧6␈ε	V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α=␈↓ ¬/␈ε	r␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬d␈εβ)␈α
as␈α
d␈α␈esired␈α␈.␈↓ π>␈εβIn␈αprac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈αdivid␈α␈e␈↓ 
c␈ε	r␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β⊂3␈↓ βl␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓ 
o␈εε1
␈β⊂M␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ε∪␈εα)␈↓ ε(␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ αc␈ε	b␈↓ αq␈ε	u␈↓ β⊂␈ε	v␈↓ β:␈εβb␈α␈y␈↓ βm␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧+␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	r␈↓ ¬␈εβ),␈↓ ¬&␈εβcon␈α}t␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε	r␈↓ ελ␈εβ)␈↓ ε∨␈εβ.␈↓ εS␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∂if␈α∞suc␈α␈h␈↓ λ⎇␈ε	U␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	#␈ε	x␈↓ 	5␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ 
⊃␈ε	V␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α∞ex␈α␈ist,
␈β⊂Z␈↓ ↓T␈εε2␈↓ β∧␈εε3␈↓ β∨␈εε3␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬{␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α(␈εβ(␈↓ α3␈ε	x␈↓ αD␈εβ)␈αand␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈α
comm␈α␈on␈αp␈α␈rime␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs,␈αsin␈α␈ce␈αthe␈α␈y␈αare␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αan␈α␈d␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈gree.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ ~␈εα3
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβBy␈απsu␈α␈ccessiv␈α}ely␈απfacto␈α␈ring␈απp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απt␈α␈hat␈απa␈α␈re␈απred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈απin␈α}to␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials␈απof␈απsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈αwe␈αm␈α␈ust␈αobta␈α␈in␈αa␈α|n␈α␈i␈α↓te␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αof␈αan␈α}y␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
in␈α}to␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∞The
␈βαz␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αthe␈ε⊂␈αc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈t␈εβ␈αi␈α↓s␈αu␈α␈niqu␈α␈e.␈αTo␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t␈αmost␈αon␈α␈e␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞primitiv␈α␈e␈α∞p␈α␈art,␈α∂the␈α∞k␈α}ey␈α∞resu␈α␈lt␈α∂is␈α∞to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∞if␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	x␈↓ λ@␈εβ)␈α∂is␈α∞an␈α∞irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α∞facto␈α␈r
␈ββI␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ α↓␈εβ(␈↓ α␈ε	x␈↓ α≥␈εβ)␈↓ α)␈ε	w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ),␈α
b␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αa␈αu␈α␈nit␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αirredu␈α␈cible␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 	⊗␈ε	v␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	x␈↓ 	D␈εβ),␈α
th␈α␈en␈↓ 
2␈ε	u␈↓ 
F␈εβ(␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa
␈ββq␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α	of␈↓ αK␈ε	w␈↓ αd␈εβ(␈↓ αo␈ε	x␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α
This␈α	can␈α	b␈α␈e␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	b␈α␈y␈α	ob␈α␈servin␈α␈g␈α	tha␈α␈t␈↓ πD␈ε	u␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α
is␈α	a␈α	facto␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ 	F␈ε	v␈↓ 	W␈εβ(␈↓ 	b␈ε	x␈↓ 	t␈εβ)␈↓ 	␈␈ε	w␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	x␈↓ 
4␈εβ)␈↓ 
?␈ε	U␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∧→␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αG␈ε	w␈↓ α←␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α|␈εβ)␈↓ βπ␈ε	u␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	x␈↓ β8␈εβ)␈↓ βC␈ε	V␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βf␈ε	x␈↓ βw␈εβ)␈αby␈α
the␈αre␈α␈sult␈αof␈αex␈α}ercise␈α9,␈αwh␈α␈ere␈↓ πz␈ε	r␈↓ λ∀␈εβis␈αa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t.
␈β∧Q␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
ro␈α␈w␈α
nam␈α␈es␈α∞n␈α␈eed␈α␈ed␈α∞w␈α␈o␈α␈uld␈α
be␈↓ εP␈ε	A␈↓ εq␈εβ,␈↓ π	␈ε	A␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε	B␈↓ πc␈εβ,␈↓ π{␈ε	B␈↓ λ≠␈εβ,␈↓ λ2␈ε	B␈↓ λR␈εβ,␈↓ λj␈ε	B␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	"␈ε	B␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Z␈ε	C␈↓ 	|␈εβ,␈↓ 
∀␈ε	C␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
O␈ε	D␈↓ 
r␈εβ.␈α∀In
␈β∧\␈↓ εe␈εε1␈↓ π≡␈εε0␈↓ πV␈εε4␈↓ λ∞␈εε3␈↓ λF␈εε2␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	5␈εε0␈↓ 	p␈εε1␈↓ 
*␈εε0␈↓ 
f␈εε0
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral,␈α∞let␈↓ αx␈ε	u␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈ε	x␈↓ βY␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈;␈α∞then␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ws␈α
n␈α␈eed␈α␈ed␈αfor␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈roof␈α
a␈α␈re␈↓ 	⊂␈ε	A␈↓ 
α␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ↓␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β¬β␈↓ β␈εj␈↓ β↔␈εε+2␈↓ 	%␈εn␈↓ 	@␈ε~␈␈↓ 	Z␈εn␈↓ ↔␈εε0
␈β¬␈↓ 	5␈επ2␈↓ 	i␈ε
j
␈β¬ ␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α6␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ β4␈ε	B␈↓ βT␈εβ,␈↓ βh␈ε	C␈↓ ∧Y␈εβthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ ¬W␈ε	C␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε∞␈ε	D␈↓ π␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ π}␈ε	D␈↓ λ"␈εβ,␈αetc␈α␈.
␈β¬+␈↓ ↓[␈εn␈↓ ↓v␈ε~␈␈↓ α∂␈εn␈↓ βG␈εε0␈↓ β}␈εn␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬m␈εε0␈↓ ε%␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈↓ εZ␈εn␈↓ λ∃␈εε0
␈β¬3␈↓ ↓k␈επ1␈↓ α∨␈ε
j␈↓ ∧∞␈επ2␈↓ ∧C␈ε
j␈↓ ε5␈επ3␈↓ εi␈ε
j
␈β¬Y␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε	n␈↓ αV␈εβ=␈α	0,␈αth␈α␈e␈α
tex␈α␈t'␈α↓s␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α
(␈α↓2␈α␈4)␈α
sho␈α}ws␈α
that␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α
is␈ε↔␈α
ε␈↓ ε␈ε	h␈↓ #␈εβ,
␈β¬b␈↓ ∧(␈ε↓Q
␈β¬c␈↓ α?␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈β¬y␈↓ ¬5␈ε∞␈↓ ¬m␈εε(␈↓ ¬u␈ε∞␈↓ ε␈ε~␈␈εε1)
␈β¬{␈↓ βS␈εn
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απthis␈αλequ␈α␈als␈ε↔␈αλε␈↓ βE␈ε	#␈↓ ∧⊃␈εβ/␈↓ ¬'␈ε	#␈↓ ε9␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλa␈απf␈α↓a␈α␈ctor␈αλo␈α␈f␈α	p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βε↓␈↓ ¬?␈ε
j␈↓ ¬K␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬␈␈ε
j
␈βεβ␈↓ βc␈ε
k␈↓ βp␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βε⊂␈↓ βS␈εk
␈βε∩␈↓ ¬1␈εj
␈βε∪␈↓ ∧J␈εε1␈α␈<␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧{␈εε<␈↓ ¬∃␈εk
␈βε(␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈α
we␈α	can␈α	arti|␈α␈ciall␈α↓y␈α	ass␈α␈ume␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	poly␈α␈no␈α␈mial␈α
zero␈α	ha␈α␈s␈α
de␈α␈gree␈α
z␈α␈ero␈α
a␈α␈nd␈α	use␈α	the
␈βεO␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈αform␈α}ula␈αwith␈↓ βb␈ε	#␈↓ ∧β␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βεZ␈↓ βm␈εk
␈βεx␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∩Th␈α␈e␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε	␈α∞R␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	v␈↓ ∧s␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈α∞Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α∞de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α∞is␈α∞called␈α∞t␈α␈he␈ε⊂␈α∞resu␈α␈ltan␈α}t␈εβ␈α∂o␈α␈f␈↓ _␈ε	u
␈βπ≤␈↓ ¬∧␈εεdeg␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬2␈εu␈↓ ¬B␈εε)␈α↓(␈↓ ¬S␈εεdeg␈↓ ¬y␈εε(␈↓ ε↓␈εu␈↓ ε∩␈εε)␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ π~␈ε~␈␈εε1␈↓ λ_␈ε~0
␈βπ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	v␈↓ α≤␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
the␈α
qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧y␈εβ)␈↓ εa␈ε	#␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε	u␈↓ π∞␈εβ)␈↓ π?␈ε	R␈εβ(␈↓ πb␈ε	u␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ∧␈ε	u␈↓ λ∨␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
called␈α
the␈ε⊂␈α
discrimin␈α␈an␈α}t
␈βπD␈↓ β↔␈ε~0
␈βπH␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓r␈ε	u␈↓ αε␈εβ,␈α⊂where␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β,␈εβi␈α↓s␈α∞the␈α∞deriv␈α␈ativ␈α␈e␈α∞of␈↓ ¬Y␈ε	u␈↓ ¬m␈εβ.␈α⊗I␈α↓f␈↓ ε1␈ε	u␈↓ εE␈εβ(␈↓ εQ␈ε	x␈↓ εb␈εβ)␈α∂=␈↓ π-␈ε	a␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	x␈↓ πd␈ε↔␈␈↓ λ∂␈ε	␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λj␈εβ(␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	⊃␈ε↔␈␈↓ 	<␈ε	␈↓ 	d␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ 
C␈ε	v␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈βπR␈↓ λ!␈εε1␈↓ 	M␈εm
␈βπk␈↓ ε≥␈εn␈↓ λq␈εm␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	&␈εm
␈βπo␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α≤␈ε	␈␈↓ α9␈εβ)␈↓ αJ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β=␈ε	␈␈↓ β↑␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈e␈ε	␈αλR␈εβ␈α↓(␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	v␈↓ ¬N␈εβ)␈α	=␈↓ ε
␈ε	a␈↓ ε-␈ε	v␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εJ␈ε	␈↓ εh␈εβ)␈↓ εy␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π%␈ε	v␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	␈↓ πj␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λf␈εβ)␈↓ 	→␈ε	b␈↓ 	=␈ε	u␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	\␈ε	␈␈↓ 	z␈εβ)␈↓ 

␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
K␈εβ(␈↓ 
V␈ε	␈␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βπy␈↓ α∩␈ε↓Q
␈βπz␈↓ α-␈εε1␈↓ βN␈εn␈↓ ε[␈εε1␈↓ πS␈εm␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
f␈εn
␈βλ∪␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓v␈εm
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓h␈ε	b␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	␈↓ ∧#␈ε↔␈␈↓ ∧H␈ε	␈␈↓ ∧e␈εβ).␈α
I␈α↓t␈αλfollo␈α␈ws␈α	t␈α␈hat␈αλthe␈αλp␈α␈olyn␈α␈omials␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈↓ 	L␈ε	m␈↓ 	i␈ε	n␈↓ 
ε␈εβin␈↓ 
*␈ε	y␈↓ 
E␈εβd␈α␈e|n␈α␈ed
␈βλ!␈↓ ∧∀␈εi␈↓ ∧Y␈εj
␈βλ)␈↓ α4␈εε1␈ε~∀␈↓ αZ␈εi␈↓ αe␈ε~∀␈↓ α}␈εm␈↓ β∃␈εε,1␈ε~∀␈↓ βB␈εj␈↓ βN␈ε~∀␈↓ βg␈εn
␈βλ>␈↓ λ&␈εm
␈βλC␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α	th␈α␈e␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αλresulta␈α␈n␈α␈ts␈αλwi␈α↓th␈↓ ¬≤␈ε	v␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬J␈εβ)␈αλof␈↓ ε↓␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ(␈↓ ε ␈ε	y␈↓ ε7␈ε↔␈␈↓ ε\␈ε	x␈↓ εn␈εβ),␈↓ π␈ε	u␈↓ π∨␈εβ(␈↓ π*␈ε	y␈↓ π@␈εβ+␈↓ πf␈ε	x␈↓ πw␈εβ),␈↓ λ∀␈ε	x␈↓ λ=␈ε	u␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	y␈↓ λo␈εβ/␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊃␈εβ),␈α	an␈α␈d␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	y␈↓ 
≡␈ε	x␈↓ 
/␈εβ)␈α	h␈α␈av␈α␈e␈αλa␈α␈s
␈βλj␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α	roo␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	sum␈α␈s␈↓ ∧9␈ε	␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬␈ε	␈␈↓ ¬≤␈εβ,␈α
d␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈↓ εP␈ε	␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π⊗␈ε	␈␈↓ π3␈εβ,␈α	pro␈α␈du␈α␈cts␈↓ λL␈ε	␈↓ λh␈ε	␈␈↓ 	¬␈εβ,␈α	an␈α␈d␈α	qu␈α␈otien␈α}ts␈↓ 
c␈ε	␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε	␈
␈βλu␈↓ ∧K␈εi␈↓ ¬⊂␈εj␈↓ εa␈εi␈↓ π'␈εj␈↓ λ]␈εi␈↓ λy␈εj␈↓ 
t␈εi␈↓  ␈εj
␈β	∂␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β&␈εα)
␈β	∩␈↓ ↓T␈εβwh␈α␈en␈↓ α)␈ε	v␈↓ α;␈εβ(0␈α␈)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	0␈↓ β2␈εβ.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	i␈α↓d␈α␈ea␈α	ha␈α␈s␈α
b␈α␈een␈α	used␈α	b␈α␈y␈α
R␈α␈.␈α
G.␈α
K.␈α
Loos␈α	to␈α
c␈α␈onstr␈α␈uct␈α	algorith␈α␈ms␈α
fo␈α␈r
␈β	9␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αo␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c␈α
n␈α␈um␈α}bers␈α[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α
J.␈αComp␈α␈ut␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈α(␈ε⊂c␈εβ.␈α197␈α␈9),␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈β	b␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αreplac␈α␈e␈αeac␈α␈h␈αro␈α␈w␈↓ ∧[␈ε	A␈↓ ¬ε␈εβin␈αS␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈αmatrix␈α
by
␈β	m␈↓ ∧p␈εi
␈β
6␈↓ ↓p␈εβ(␈↓ ↓{␈ε	b␈↓ α∪␈ε	A␈↓ α;␈εβ+␈↓ αc␈ε	b␈↓ α|␈ε	A␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧ ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε	b␈↓ ¬:␈ε	A␈↓ ε⊂␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εV␈ε	a␈↓ εr␈ε	B␈↓ π_␈εβ+␈↓ π@␈ε	a␈↓ π]␈ε	B␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈␈εβ+␈↓ 	'␈ε	a␈↓ 
≤␈ε	B␈↓ 
p␈εβ),
␈β
A␈↓ απ␈εε0␈↓ α)␈εi␈↓ αo␈εε1␈↓ β⊃␈εi␈↓ β≤␈εε+1␈↓ ∧U␈εn␈↓ ∧p␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬/␈εi␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬j␈ε~␈␈εε1␈↓ εf␈εε0␈↓ πε␈εi␈↓ πP␈εε1␈↓ πp␈εi␈↓ π{␈εε+1␈↓ 	7␈εn␈↓ 	R␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ 
⊃␈εi␈↓ 
/␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
I␈↓ ∧e␈επ2␈↓ ¬←␈επ2␈↓ 	G␈επ2␈↓ 
?␈επ2
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
d␈α␈el␈α↓e␈α␈te␈αro␈α␈ws␈↓ ∧↓␈ε	B␈↓ ∧`␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ ¬↑␈ε	B␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αla␈α␈st␈↓ πA␈ε	n␈↓ πl␈εβcolu␈α␈mns␈α␈,␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
an␈↓ 
=␈ε	n␈↓ 
d␈ε↔α␈↓ 
␈ε	n
␈β∀␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬q␈εε0␈↓ πT␈εε2␈↓ 
P␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β≤␈↓ ∧$␈επ2
␈β1␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
for␈α	th␈α␈e␈α
re␈α␈sultan␈α}t␈α
ins␈α␈tead␈α	o␈α␈f␈α
the␈α	o␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈α	(␈↓ πF␈ε	n␈↓ πj␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ1␈εβ)␈ε↔␈α¬α␈εβ␈αε(␈↓ λs␈ε	n␈↓ 	_␈εβ+␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ)␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.
␈β<␈↓ πY␈εε1␈↓ λ$␈εε2␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 	Q␈εε2
␈βY␈↓ ↓H␈εβIn␈α
some␈αca␈α␈ses␈αthe␈αre␈α␈sultan␈α}t␈αcan␈αb␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αe}␈α␈cien␈α␈tly␈αb␈α␈y␈αme␈α␈ans␈αo␈α␈f␈αth␈α␈is␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t;
␈β↓␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α12␈εβ␈α
(196␈α␈9),␈α23↑␈α␈30,␈α30␈α␈2↑3␈α␈03.
␈β*␈↓ α␈εβJ.␈α∞T.␈α∞Sch␈α}wartz␈α∞h␈α␈as␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α∞th␈α␈at␈α∞resu␈α␈ltan␈α}ts␈α∞and␈α
Stu␈α␈rm␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ces␈α∞for␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βM␈↓ ε\␈εε2
␈βN␈↓ ¬a␈εα(␈↓ εh␈εα)
␈βQ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ αX␈ε	n␈↓ αx␈εβcan␈αbe␈αev␈α␈alu␈α␈ated␈αwith␈↓ ¬I␈ε	O␈↓ ¬m␈ε	n␈↓ εα␈εβ(␈↓ ε
␈εβlog␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ)␈↓ π↓␈εβo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈s␈↓ λL␈ε	n␈↓ λk␈ε↔!␈α1␈εβ␈α↓.␈α≠[\Proba␈α␈bilisti␈α↓c
␈βy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ri␈α↓|␈α␈catio␈α␈n␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αiden␈α}tities,"␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar.]
␈β
.␈↓ πv␈εα(␈↓ 	g␈εα)
␈β
1␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
sho␈α}w␈αby␈α
in␈α␈du␈α␈ction␈α
on␈↓ ¬Q␈ε	j␈↓ ¬j␈εβtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ λα␈ε	u␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	x␈↓ λd␈εβ),␈↓ λ}␈ε	g␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	K␈ε	h␈↓ 	⎇␈εβare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈β
<␈↓ λ∃␈εj␈↓ λ!␈εε+␈α↓1␈↓ 	
␈εj␈↓ 	↔␈εε+1␈↓ 	[␈εj
␈β
T␈↓ βJ␈εε1+␈↓ βp␈εp␈↓ ¬0␈εε2+␈↓ ¬V␈εp␈↓ ε(␈εp
␈β
V␈↓ β1␈εα(␈↓ ε`␈εα)
␈β
Y␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αby␈↓ β=␈ε	#␈↓ ∧␈ε	w␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	x␈↓ ∧B␈εβ)␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬"␈ε	#␈↓ ¬r␈ε	g␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε	#␈↓ εD␈ε	h␈↓ εx␈εβfor␈↓ π-␈ε	j␈↓ πH␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈α
whe␈α␈re␈↓ λ|␈ε	p␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	P␈ε	n␈↓ 	x␈εβ+␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
J␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ ∧␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β
\␈↓ β⎇␈ε
j␈↓ ¬c␈ε
j␈↓ ε5␈ε
j
␈β
c␈↓ ∧`␈εj␈↓ ¬␈␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ 	␈εj␈↓ 	c␈εε1␈↓ 
5␈εε2␈↓ ↔␈εj
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ π\␈εα)
␈β∞␈↓ ↓T␈εβIn␈α
spite␈αof␈αth␈α␈is␈αgro␈α␈wth␈α␈,␈αth␈α␈e␈αbo␈α␈un␈α␈d␈α(26␈α␈)␈αremain␈α␈s␈αva␈α␈l␈α↓id␈α␈.
␈β∞5␈↓ 	r␈εk
␈β∞9␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	p␈↓ αc␈εβb␈α␈e␈α
a␈α	prime␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	dom␈α␈ain,␈α
an␈α␈d␈α
let␈↓ εQ␈ε	j␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εn␈ε	k␈↓ π	␈εβb␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 
¬␈ε↔∧␈↓ 
≠␈ε	v␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
n␈ε	#␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	v␈↓ _␈εβ),
␈β∞C␈↓ 
*␈εn
␈β∞\␈↓ ↓Y␈εj␈↓ βq␈εk␈↓ 
`␈εs␈↓ _␈εs
␈β∞`␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓j␈ε↔∧␈↓ α␈ε	v␈↓ αE␈εβ.␈αLet␈↓ β∃␈ε	P␈↓ β6␈εβ=␈↓ β`␈ε	p␈↓ β}␈εβ.␈αBy␈α
Algo␈α␈rithm␈α	R␈α
w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α	wri␈α↓te␈↓ πQ␈ε	q␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈ε	x␈↓ π|␈εβ)␈α
=␈↓ λ;␈ε	a␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	P␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	u␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
"␈εβ+␈↓ 
I␈ε	P␈↓ 
l␈ε	a␈↓ π␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β∞k␈↓ α∂␈εn␈↓ α∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λK␈εε0␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
{␈εs
␈β∂∧␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ∩␈εε+1␈↓ λ\␈εn␈↓ 	O␈εn␈↓ 	`␈ε~␈␈εε1
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε	s␈↓ α=␈εβ=␈↓ αh␈ε	m␈↓ β
␈ε↔␈␈↓ β0␈ε	n␈↓ βN␈ε↔∃␈εβ␈α	2.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α
u␈α␈s␈α
lo␈α␈ok␈α	at␈α	th␈α␈e␈α	coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α	of␈↓ πp␈ε	x␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λJ␈ε	x␈↓ λl␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 
∂␈εβin␈↓ 
4␈ε	v␈↓ 
E␈εβ(␈↓ 
P␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈↓ 
m␈ε	q␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β∂,␈↓ βT␈εε2
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ α<␈ε	P␈↓ αS␈ε	a␈↓ αo␈ε	v␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β=␈ε	P␈↓ βa␈ε	a␈↓ β⎇␈ε	v␈↓ ∧H␈εβ+␈↓ ∧p␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈ε	a␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬r␈εβ+␈↓ ε~␈ε	P␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εM␈ε	v␈↓ π→␈εβ+␈↓ π@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ λA␈ε	a␈↓ λ]␈ε	v␈↓ 	(␈εβ+␈↓ 	P␈ε	P␈↓ 	h␈ε	a␈↓ 
∧␈ε	v␈↓ 
O␈εβ+␈↓ 
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ,
␈β∂:␈↓ αc␈εε1␈↓ α}␈εn␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬@␈εε0␈↓ ¬[␈εn␈↓ εA␈εε1␈↓ ε\␈εn␈↓ εl␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λP␈εε0␈↓ λl␈εn␈↓ λ|␈ε~␈␈εε1␈↓ 	w␈εε1␈↓ 
∩␈εn␈↓ 
#␈ε~␈␈εε2
␈β∂S␈↓ ¬α␈εε3␈↓ λy␈εj
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈απof␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλis␈αλa␈απm␈α␈ultiple␈αλo␈α␈f␈↓ ∧j␈ε	P␈↓ ¬∂␈εβ.␈α
We␈αλco␈α␈nclu␈α␈de␈απf␈α↓ro␈α␈m␈αλth␈α␈e␈αλ|␈α␈rst␈αλtha␈α␈t␈↓ λh␈ε	p␈↓ 	λ␈ε↔∧␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈εβ,␈α	fro␈α␈m␈αλthe␈απseco␈α␈nd
␈β∂b␈↓ 	+␈εε1
␈β∂{␈↓ α≡␈εεmin␈↓ αH␈εε(␈↓ αQ␈εk␈↓ α↑␈εε,2␈↓ αq␈εj␈↓ α⎇␈εε)
␈β∂|␈↓ λs␈εα(
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α
␈ε	p␈↓ β
␈ε↔∧␈↓ β∨␈ε	a␈↓ β;␈εβ,␈α	the␈α␈n␈αλf␈α↓r␈α␈om␈αλthe␈αλthird␈αλth␈α␈at␈↓ ε1␈ε	P␈↓ εL␈ε↔∧␈↓ εa␈ε	a␈↓ ε⎇␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈↓ πp␈ε	P␈↓ λ␈ε↔∧␈↓ λ!␈ε	r␈↓ λ/␈εβ(␈↓ λ:␈ε	x␈↓ λL␈εβ).␈↓ λ␈␈εβIf␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 	C␈εβw␈α␈ere␈α	o␈α␈nly␈↓ 
U␈ε	n␈↓ 
m␈εβ+␈α¬1␈α␈,
␈β⊂	␈↓ β.␈εε0␈↓ εq␈εε0
␈β⊂"␈↓ ε∂␈ε~d␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈εε/2␈ε~e␈↓ 
W␈εε3
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αb␈α␈est␈αw␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	p␈↓ εT␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ πE␈ε	r␈↓ πS␈εβ(␈↓ π↑␈ε	x␈↓ πp␈εβ);␈αe.g.,␈αco␈α␈nside␈α␈r␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	x␈↓ 
π␈εβ)␈α	=␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈β⊂J␈↓ αV␈εε2
␈β⊂N␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈α	4␈↓ αE␈ε	x␈↓ αf␈εβ+␈α∧2␈↓ β≠␈ε	x␈↓ β0␈εβ+␈αβ1,␈↓ βw␈ε	r␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈8.␈α
On␈αλth␈α␈e␈αλo␈α␈ther␈αλh␈α␈an␈α␈d,␈α	a␈α␈n␈αλa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈απbase␈α␈d␈αλo␈α␈n␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈α␈s
␈β⊂r␈↓ λ!␈εεde␈α↓g␈↓ λG␈εε(␈↓ λP␈εv␈↓ λ↑␈εε)␈ε~␈␈↓ λ␈␈εεde␈α↓g␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	.␈εr␈↓ 	:␈εε)␈ε~␈␈εε1
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αmatrices␈α
l␈α↓ik␈α␈e␈α
(21)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓2␈α␈2)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αto␈α
sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ πo␈ε	#␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	r␈↓ λ⊗␈εβ)␈↓ 	h␈ε	r␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	x␈↓ 
∪␈εβ)␈αis␈αalway␈α␈s
␈β⊃→␈↓ βB␈εε(␈↓ βJ␈εεde␈α↓g␈↓ βp␈εε(␈↓ βy␈εu␈↓ ∧	␈εε)␈ε~␈␈↓ ∧+␈εεdeg␈↓ ∧P␈εε(␈↓ ∧Y␈εv␈↓ ∧g␈εε))␈α↓(␈↓ ¬␈εεdeg␈↓ ¬&␈εε(␈↓ ¬.␈εv␈↓ ¬=␈εε)␈ε~␈␈↓ ¬↑␈εεde␈α↓g␈↓ ε∧␈εε(␈↓ ε
␈εr␈↓ ε→␈εε)␈ε~␈␈εε1)
␈β⊃~␈↓ εY␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ β
␈ε	#␈↓ β~␈εβ(␈↓ β&␈ε	v␈↓ β7␈εβ)␈↓ εO␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	c␈↓ αx␈εβ=␈↓ β$␈ε	a␈↓ βK␈ε	a␈↓ β{␈εβ+␈↓ ∧$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	a␈↓ ¬'␈ε	a␈↓ ¬S␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ λ"␈ε	c␈↓ λO␈εβ>␈α0␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ 	|␈ε	i␈↓ 
λ␈εβ.␈α∂If␈↓ 
B␈ε	c␈↓ 
p␈ε↔≤␈εβ␈α0
␈βα5␈↓ αV␈εi␈↓ αa␈εj␈↓ β3␈εi␈↓ β>␈εε1␈↓ βZ␈εj␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬␈εi␈↓ ¬↔␈εn␈↓ ¬6␈εj␈↓ ¬C␈εn␈↓ λ.␈εi␈↓ λ9␈εi␈↓ 
N␈εi␈↓ 
Y␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ αN␈ε	i␈↓ αd␈ε↔≤␈↓ β∂␈ε	j␈↓ β≡␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αrep␈α␈lace␈αr␈α␈o␈α␈w␈↓ ¬P␈ε	i␈↓ ¬h␈εβb␈α␈y␈α(␈↓ ε#␈ε	a␈↓ εQ␈ε↔␈␈↓ εy␈ε	c␈↓ πε␈ε	a␈↓ π/␈εβ,␈↓ π=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈εβ,␈↓ πy␈ε	a␈↓ λ*␈ε↔␈␈↓ λS␈ε	c␈↓ λ`␈ε	a␈↓ 	␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ 
␈ε	c␈↓ 
!␈εβ=␈↓ 
L␈ε	c␈↓ 
n␈εβ/␈↓ 
␈␈ε	c␈↓ #␈εβ;
␈βα\␈↓ ε2␈εi␈↓ ε=␈εε1␈↓ π⊗␈εj␈↓ π"␈εε1␈↓ λλ␈εi␈↓ λ∪␈εn␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈εn␈↓ 
X␈εi␈↓ 
b␈εj␈↓ ␈εj␈↓ ↔␈εj
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
doe␈α␈s␈α
not␈α
c␈α␈han␈α␈ge␈α
th␈α␈e␈α
va␈α␈lue␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t,␈α∞a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈α
d␈α␈ecrea␈α␈ses␈α
the␈αvalu␈α␈e␈α
of␈α
the
␈ββ≥␈↓ λ4␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβu␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α	w␈α␈e␈α
wish␈α	to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ¬]␈ε	c␈↓ ελ␈εβi␈α↓s␈α	replac␈α␈ed␈α	by␈↓ πY␈ε	c␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ'␈ε	c␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈ε	c␈↓ λ}␈εβ.␈αTh␈α␈ese␈α
re␈α␈place␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈ββ,␈↓ ¬i␈εi␈↓ ¬t␈εi␈↓ πe␈εi␈↓ πp␈εi␈↓ λg␈εi␈↓ λr␈εj
␈ββ0␈↓ λ4␈εi␈↓ λ?␈εj
␈ββI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αdon␈α␈e␈α
in␈αa␈α
sy␈α␈stema␈α␈tic␈α
way␈αfor␈α
in␈α␈creas␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π
␈ε	i␈↓ π&␈εβan␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβ<␈↓ λg␈ε	i␈↓ λs␈εβ,␈α∞u␈α␈n␈α␈til␈↓ 	Z␈ε	c␈↓ 
	␈εβ=␈α0␈α
for␈αall
␈ββS␈↓ 	f␈εi␈↓ 	q␈εj
␈ββm␈↓ α3␈εα(
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	i␈↓ ↓↑␈ε↔≤␈↓ αλ␈ε	j␈↓ α↔␈εβ.␈↓ α?␈εβThe␈αλl␈α↓a␈α␈tter␈αλalgorith␈α␈m␈α	is␈α	c␈α␈all␈α↓e␈α␈d␈αλ\Sc␈α␈hmid␈α␈t'␈α↓s␈αλorth␈α␈ogo␈α␈na␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλpro␈α␈cess";␈α	see␈ε⊂␈αλMath␈α␈.
␈β∧∀␈↓ ¬h␈εε2␈↓ π∂␈εT
␈β∧∃␈↓ ∧ ␈εα)
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α63␈εβ␈α
(190␈α␈7),␈α4␈α␈42␈α␈.␈↓ ∧7␈εβTh␈α␈en␈↓ ¬∞␈εβd␈α␈et␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	A␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ=␈↓ ε)␈εβd␈α␈et␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	A␈↓ εx␈ε	A␈↓ π!␈εβ)␈α	=␈↓ π`␈ε	c␈↓ λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ7␈ε	c␈↓ λd␈εβ.
␈β∧"␈↓ πl␈εε1␈α␈1␈↓ λC␈εn␈↓ λS␈εn
␈β∧G␈↓ ¬{␈εm
␈β∧K␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	x␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	x␈↓ βj␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧u␈εβ,␈↓ ¬∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬0␈εβ,␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬←␈εβ)␈↓ ¬j␈ε	x␈↓ ε~␈εβ+␈↓ εC␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εβ+␈↓ π~␈ε	g␈↓ π4␈εβ(␈↓ π?␈ε	x␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λE␈εβ),␈αand␈α
l␈α↓et␈↓ 	V␈ε	g␈↓ 	f␈εβ(␈↓ 	q␈ε	x␈↓ 

␈εβ,␈↓ 
≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
H␈εβ,␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈β∧V␈↓ αt␈εε1␈↓ βZ␈εn␈↓ ∧7␈εm␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ¬O␈εn␈↓ π'␈εε0␈↓ πN␈εε2␈↓ λ4␈εn␈↓ 
␈εε2␈↓ 
f␈εn
␈β∧Z␈↓ ¬{␈εε1
␈β∧o␈↓ βλ␈εε2␈↓ ¬P␈εε2
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈ε	x␈↓ α∪␈εβ,␈↓ α"␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αN␈εβ,␈↓ α]␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈↓ β≤␈εβ+␈↓ βD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βr␈εβ+␈↓ ∧~␈ε	g␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ;␈αth␈α␈e␈αlatt␈α␈er␈αis␈αno␈α␈t␈αiden␈α}tically␈αze␈α␈ro.␈αW␈α↓e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
[␈ε	a␈↓ ␈ε↔∀
␈β∧⎇␈↓ ↓U␈εm␈↓ αε␈εε2␈↓ αl␈εn␈↓ ∧'␈εε0␈↓ ∧N␈εε2␈↓ ¬4␈εn␈↓ 
j␈εN
␈β¬⊗␈↓ αe␈εn␈↓ αv␈ε~␈␈εε1
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ(2␈↓ α↓␈ε	N␈↓ α$␈εβ+␈α∧1␈↓ αZ␈εβ)␈↓ β ␈εβ+␈α∧(2␈↓ βa␈ε	N␈↓ ∧∧␈εβ+␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧F␈ε	b␈↓ ∧i␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬Z␈ε	b␈↓ εε␈εβcou␈α␈n␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	in␈α}teger␈αλsolution␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ 	<␈ε	g␈↓ 	L␈εβ(␈↓ 	W␈ε	x␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
α␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
=␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈α	=␈α
0
␈β¬%␈↓ ∧R␈εN␈↓ ¬f␈εN␈↓ 	g␈εε2␈↓ 
M␈εn
␈β¬>␈↓ π}␈εn␈↓ 
m␈εn␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβwith␈α¬va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α¬bou␈α␈nd␈α␈ed␈α¬by␈↓ ∧B␈ε	N␈↓ ∧a␈εβ.␈α	Hence␈↓ ¬P␈εβli␈α↓m␈↓ εN␈ε	a␈↓ εu␈εβ/(2␈↓ π"␈ε	N␈↓ πA␈εβ+␈α↓1␈↓ πs␈εβ)␈↓ λ_␈εβ=␈↓ λB␈εβl␈α↓im␈↓ 	@␈ε	b␈↓ 	d␈εβ/(2␈↓ 
⊃␈ε	N␈↓ 
0␈εβ+1␈↓ 
b␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β¬M␈↓ ¬}␈εN␈↓ ε⊗␈ε~!1␈↓ ε↑␈εN␈↓ λq␈εN␈↓ 	λ␈ε~!␈α↓1␈↓ 	L␈εN
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αis␈αzero␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈βε≥␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃For␈α⊃c␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈i␈α↓e␈α␈nce,␈α∩let␈α⊃us␈α⊃d␈α␈escrib␈α␈e␈α⊃th␈α␈e␈α⊃algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	"␈ε	A␈↓ 	K␈εβ=␈ε↔␈α∀f␈↓ 
⊂␈ε	a␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
/␈ε	b␈↓ 
=␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≥The
␈βεE␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈απi␈α↓m␈α␈ply␈απtha␈α␈t␈↓ ∧
␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	Q␈↓ ∧l␈ε	U␈↓ ¬λ␈εβ)␈α	=␈↓ ¬G␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	Q␈↓ ε&␈ε	V␈↓ ε>␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	0,␈αλan␈α␈d␈↓ π\␈εβdeg␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ→␈ε	Q␈↓ λ<␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ λ{␈εβde␈α␈g␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	Q␈↓ 	[␈εβ).␈α
If␈↓ 
↔␈εβd␈α␈eg␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	Q␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βεO␈↓ ∧`␈εε1␈↓ ε~␈εε2␈↓ λ0␈εε1␈↓ 	N␈εε2␈↓ 
j␈εε1
␈βεl␈↓ ↓H␈εβ0␈α␈,␈α
th␈α␈en␈↓ α;␈ε	Q␈↓ αj␈εβis␈αjust␈αa␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αr␈α␈ation␈α␈al␈α
n␈α}um␈α}ber,␈αso␈αw␈α␈e␈αset␈↓ πz␈ε	Q␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λI␈ε	Q␈↓ λl␈εβ/␈↓ λ⎇␈ε	Q␈↓ 	 ␈εβ.␈α∞Oth␈α␈erwise␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βεw␈↓ αQ␈εε1␈↓ λ`␈εε2␈↓ 	∪␈εε1
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α∨␈ε	a␈↓ α0␈ε	Q␈↓ αg␈εβ+␈↓ β∂␈ε	b␈↓ β≥␈ε	Q␈↓ βT␈εβ+␈↓ β⎇␈ε	r␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧*␈ε	Q␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε	a␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬I␈εβ+␈↓ ¬r␈ε	b␈↓ ¬␈␈ε	Q␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε←␈ε	r␈↓ εw␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πl␈ε	r␈↓ λ⊂␈εβan␈α␈d␈↓ λQ␈ε	r␈↓ λu␈εβare␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers;
␈βπ∨␈↓ ↓↑␈εε1␈↓ αF␈εε1␈α␈1␈↓ β3␈εε1␈α␈2␈↓ ∧λ␈εε1␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬(␈εε2␈α␈1␈↓ ε∃␈εε22␈↓ εk␈εε2␈↓ πx␈εε1␈↓ λ]␈εε2
␈βπ<␈↓ ↓H␈εβit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at
␈βλ␈↓ αf␈ε	Q␈↓ β	␈ε	U␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	Q␈↓ βw␈ε	V␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧C␈ε	a␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	Q␈↓ ¬∞␈ε	U␈↓ ¬0␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ελ␈ε	V␈↓ ε ␈εβ)␈απ+␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εh␈εβ(␈↓ εt␈ε	Q␈↓ π#␈ε	U␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	Q␈↓ λ≡␈ε	V␈↓ λ5␈εβ)␈αλ+␈↓ λq␈ε	r␈↓ 		␈ε	U␈↓ 	,␈ε↔␈␈↓ 	T␈ε	r␈↓ 	m␈ε	V␈↓ 
¬␈εβ.
␈βλ⊗␈↓ α|␈εε1␈↓ βj␈εε2␈↓ ∧t␈εε11␈↓ ¬o␈εε21␈↓ π
␈εε1␈α␈2␈↓ λ∧␈εε22␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	`␈εε2
␈βλ\␈↓ ↓H␈εβWe␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈↓ β}␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	Q␈↓ ∧j␈εβ)␈α
=␈↓ ¬)␈εβdeg␈↓ ¬[␈εβ(␈↓ ¬f␈ε	Q␈↓ ε	␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α	or␈↓ π∧␈εβd␈α␈eg␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	Q␈↓ πp␈εβ)␈α
=␈↓ λ/␈εβdeg␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	Q␈↓ 	∂␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α␈.␈αIn␈α
th␈α␈e␈α
forme␈α␈r
␈βλf␈↓ ∧Q␈εε11␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ πW␈εε12␈↓ 	β␈εε1
␈β	β␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈↓ α↔␈εβde␈α␈g␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	Q␈↓ β∧␈ε	U␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε	Q␈↓ β}␈ε	V␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	<␈↓ ∧T␈εβdeg␈↓ ¬ε␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬A␈ε	U␈↓ ¬\␈εβ),␈αby␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α
the␈α
terms␈αo␈α␈f␈αhigh␈α␈est␈αd␈α␈egree␈α
tha␈α␈t
␈β	∞␈↓ αj␈εε11␈↓ βe␈εε2␈α␈1␈↓ ¬(␈εε1␈α␈1
␈β	+␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈αwith␈↓ αc␈ε	a␈↓ αs␈εβ;␈αso␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αr␈α␈eplac␈α␈e␈α(␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ¬|␈εβ)␈αby␈α
(␈↓ εM␈ε	Q␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π;␈εβ)␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β	6␈↓ ¬>␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ εc␈εε12␈↓ π"␈εε2␈α␈2
␈β	S␈↓ α␈εβ(b)␈αWe␈αma␈α␈y␈αass␈α␈ume␈αth␈α␈at␈↓ ¬␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬2␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	U␈↓ ¬X␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ ε↔␈εβd␈α␈eg␈↓ εI␈εβ(␈↓ εT␈ε	V␈↓ εl␈εβ).␈αIf␈↓ π,␈εβdeg␈↓ π↑␈εβ(␈ε	R␈εβ␈α↓)␈ε↔␈α	∃␈↓ λ?␈εβdeg␈↓ λq␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	V␈↓ 	∀␈εβ),␈αn␈α␈ote␈αth␈α␈at␈↓ 
F␈ε	Q␈↓ 
i␈ε	U␈↓ ␈ε↔␈
␈β	]␈↓ 
\␈εε1
␈β	z␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓j␈ε	V␈↓ α␈εβ=␈↓ α6␈ε	Q␈↓ αY␈ε	R␈ε↔␈απ␈␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	Q␈↓ βU␈ε↔␈␈↓ β⎇␈ε	Q␈↓ ∧ ␈ε	Q␈↓ ∧8␈εβ)␈↓ ∧C␈ε	V␈↓ ∧f␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αless␈αth␈α␈an␈↓ π∩␈εβde␈α␈g␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε	V␈↓ πg␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ λ&␈εβd␈α␈eg␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	Q␈↓ 	ε␈ε	R␈εβ),␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
rep␈α␈ea␈α␈t
␈β
¬␈↓ ↓↑␈εε2␈↓ αL␈εε1␈↓ βA␈εε2␈↓ ∧∪␈εε1␈↓ λy␈εε1
␈β
≡␈↓ π↑␈ε~0␈↓ λG␈ε~0␈↓ 
)␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈β
"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
pro␈α␈cess␈α
wi␈α↓th␈↓ βG␈ε	U␈↓ βo␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈ε	␈α
R␈εβ;␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈ε	␈αR␈εβ␈α∞=␈↓ πF␈ε	Q␈↓ πd␈ε	V␈↓ λ¬␈εβ+␈↓ λ/␈ε	R␈↓ λM␈εβ,␈↓ λd␈ε	U␈↓ 	␈εβ=␈α∞(␈↓ 	F␈ε	Q␈↓ 	g␈εβ+␈↓ 
⊃␈ε	Q␈↓ 
0␈εβ)␈↓ 
;␈ε	V␈↓ 
\␈εβ+␈↓ ε␈ε	R␈↓ #␈εβ,
␈β
F␈↓ α|␈ε~0
␈β
J␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈εβd␈α␈eg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	R␈↓ βα␈εβ)␈α
<␈↓ βA␈εβdeg␈↓ βs␈εβ(␈ε	R␈εβ),␈αso␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
a␈αsolutio␈α␈n␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αob␈α␈tained␈α␈.
␈β
q␈↓ α␈εβ(c)␈αTh␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αo␈α␈f␈α(b)␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}es␈↓ ¬D␈ε	V␈↓ ¬l␈εβ=␈↓ ε↔␈ε	U␈↓ ε2␈ε	V␈↓ εX␈εβ+␈ε	␈αλR␈εβ,␈↓ π,␈εβd␈α␈eg␈↓ π↑␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α	<␈↓ λ?␈εβd␈α␈eg␈↓ λq␈εβ(␈↓ λ|␈ε	V␈↓ 	≠␈εβ);␈αby␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β
|␈↓ ¬V␈εε1␈↓ εD␈εε2␈↓ 	∞␈εε2
␈β→␈↓ ↓H␈ε	R␈εβ␈α	=␈α
0␈α
an␈α␈d␈↓ αo␈ε	U␈↓ β∃␈εβi␈α↓s␈αh␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s.
␈βA␈↓ α␈εβ(d)␈αWe␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ¬↓␈εβdeg␈↓ ¬3␈εβ(␈↓ ¬>␈ε	V␈↓ ¬V␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ε⊗␈εβd␈α␈eg␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	U␈↓ εn␈εβ).␈αIf␈↓ π0␈εβd␈α␈eg␈↓ πb␈εβ(␈↓ πm␈ε	V␈↓ λ¬␈εβ)␈α
=␈α	0,␈αset␈↓ 	≡␈ε	W␈↓ 	I␈ε↔ ␈↓ 	t␈ε	U␈↓ 
∂␈εβ;␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈βi␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈α(␈α↓c␈α␈)␈α
to␈α|n␈α␈d␈↓ β"␈ε	U␈↓ βI␈εβ=␈↓ βv␈ε	Q␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ,␈α
so␈αtha␈α␈t␈↓ ¬0␈ε	Q␈↓ ¬H␈ε	V␈↓ ¬`␈ε	V␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε0␈ε	V␈↓ εH␈ε	Q␈↓ ε`␈ε	V␈↓ εx␈εβ,␈α
(␈↓ π→␈ε	Q␈↓ π1␈ε	V␈↓ πQ␈ε↔␈␈↓ π{␈ε	V␈↓ λ∪␈ε	Q␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε	V␈↓ λY␈εβ=␈α0.␈α⊂Th␈α␈i␈α↓s␈αimplies␈αtha␈α␈t
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓`␈ε	V␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α+␈ε	V␈↓ αC␈ε	Q␈↓ α[␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
set␈↓ ∧:␈ε	U␈↓ ∧←␈ε↔ ␈↓ ¬	␈ε	V␈↓ ¬!␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	V␈↓ ¬V␈ε↔ ␈↓ ε↓␈ε	Q␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β8␈↓ α␈εβFor␈α⊃furth␈α␈er␈α⊃de␈α␈tails␈α∩a␈α␈bo␈α␈ut␈α⊃the␈α⊃su␈α␈bje␈α␈ct␈α⊃of␈α⊃this␈α⊃ex␈α␈e␈α␈rcise,␈α∪see␈α⊃P.␈α∩M␈α␈.␈α∩Co␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈α∪P␈α↓ro␈α␈c.
␈β`␈↓ ↓H␈ε⊂Ca␈α␈m␈α␈br␈α␈i␈α↓d␈α␈ge␈α∂Phil.␈α∂Soc␈α␈.␈ε∪␈α⊂5␈α␈7␈εβ␈α∂(196␈α␈1),␈α⊂18↑␈α␈30.␈α↔The␈α∞con␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈α∂mo␈α␈re␈α∂di}c␈α␈ult␈α∂pro␈α␈blem␈α∂o␈α␈f
␈β
π␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hara␈α␈cterizin␈α␈g␈ε⊂␈α
all␈εβ␈α
string␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
such␈αtha␈α␈t␈↓ πβ␈ε	U␈↓ π≡␈ε	V␈↓ πB␈εβ=␈↓ πp␈ε	V␈↓ λλ␈ε	U␈↓ λ0␈εβha␈α␈s␈α
be␈α␈en␈α
so␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈αby␈αG.␈α∞M␈α␈.
␈β
/␈↓ ↓H␈εβBerg␈α␈man␈α
[P␈α↓h␈α␈.␈α↓D␈α␈.␈αth␈α␈esis,␈αHa␈α␈rva␈α␈rd␈αUn␈α␈i␈α↓v␈α}ersity,␈α19␈α␈67].
␈β
b␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[P␈α↓.␈αM.␈αCo␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈αTra␈α␈nsac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αAme␈α␈r.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈63),␈α332␈α␈↑3␈α␈56.]
␈β∞∩␈↓ π/␈ε~0␈↓ λ←␈ε~0␈↓ 	Q␈ε~0␈↓ 
u␈ε~0
␈β∞⊗␈↓ ↓M␈ε∪C1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αC␈ε	u␈↓ αl␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	U␈↓ β9␈εβ,␈↓ βL␈ε	u␈↓ βu␈ε↔ ␈↓ ∧∨␈ε	U␈↓ ∧A␈εβ,␈↓ ∧T␈ε	v␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬#␈ε	V␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬U␈ε	v␈↓ ¬z␈ε↔ ␈↓ ε$␈ε	V␈↓ εC␈εβ,␈↓ εV␈ε	z␈↓ εw␈ε↔ ␈↓ π"␈ε	z␈↓ πE␈ε↔ ␈↓ πp␈ε	w␈↓ λ≤␈ε↔ ␈↓ λF␈ε	w␈↓ λu␈ε↔ ␈εβ␈α	1,␈↓ 	C␈ε	z␈↓ 	f␈ε↔ ␈↓ 
⊃␈ε	z␈↓ 
2␈ε↔ ␈↓ 
]␈ε	w␈↓ ␈ε↔ 
␈β∞!␈↓ αW␈εε1␈↓ β,␈εε1␈↓ β←␈εε2␈↓ ∧5␈εε2␈↓ ∧c␈εε1␈↓ ¬6␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε7␈εε2␈↓ εa␈εε1␈↓ λε␈εε1␈↓ 
≤␈εε2
␈β∞%␈↓ π/␈εε2␈↓ λ←␈εε2␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
u␈εε1
␈β∞>␈↓ α␈ε	w␈↓ α8␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β%␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β∞H␈↓ α"␈εε2
␈β∞q␈↓ ↓M␈ε∪C2.␈↓ α␈εβ(At␈α	t␈α␈his␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈αλth␈α␈e␈αλi␈α↓d␈α␈en␈α␈tities␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλi␈α↓n␈απthe␈αλex␈α}ercise␈αλho␈α␈l␈α↓d␈α␈,␈α	and␈απalso␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	0␈ε	v␈↓ 	U␈εβ=␈↓ 	␈␈ε	u␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
:␈εβ;␈↓ 
M␈ε	v␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈β∞|␈↓ 	#␈εε1␈↓ 	?␈εε1␈↓ 
∩␈εε1␈↓ 
.␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈β∂→␈↓ α␈εβif␈α
and␈α	on␈α␈l␈α↓y␈α	if␈↓ βR␈ε	u␈↓ β{␈εβ=␈α	0.)␈α↔If␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ=␈α	0,␈α
the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α	termina␈α␈tes␈α
with␈α
gc␈α␈rd(␈↓ 	|␈ε	V␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈ε	V␈↓ 
I␈εβ)␈α	=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β∂#␈↓ βe␈εε1␈↓ ¬⊂␈εε2␈↓ 
∞␈εε1␈↓ 
<␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∂<␈↓ βo␈ε~0␈↓ ∧}␈ε~0
␈β∂@␈↓ α␈εβlclm(␈↓ αT␈ε	V␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε	V␈↓ β!␈εβ)␈α
=␈↓ βa␈ε	z␈↓ β{␈ε	V␈↓ ∧$␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧q␈ε	z␈↓ ¬␈ε	V␈↓ ¬*␈εβ.␈α~(Also,␈αb␈α␈y␈αsym␈α␈metry␈α␈,␈αgc␈α␈l␈α↓d␈α␈(␈↓ λI␈ε	U␈↓ λk␈εβ,␈↓ λz␈ε	U␈↓ 	≤␈εβ)␈α
=␈↓ 	\␈εβlclm␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	U␈↓ 
F␈εβ,␈↓ 
T␈ε	U␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈β∂K␈↓ αg␈εε1␈↓ β∃␈εε2␈↓ ∧∞␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 
9␈εε1␈↓ 
j␈εε2
␈β∂O␈↓ βo␈εε1␈↓ ∧}␈εε2
␈β∂h␈↓ α␈ε	U␈↓ α.␈ε	w␈↓ αZ␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ β&␈ε	U␈↓ βH␈ε	w␈↓ βj␈εβ.␈α↓)
␈β∂r␈↓ α!␈εε1␈↓ αD␈εε1␈↓ β;␈εε2␈↓ β↑␈εε2
␈β⊂_␈↓ 
≥␈εα(
␈β⊂≠␈↓ ↓M␈ε∪C3.␈↓ α␈εβFind␈↓ α`␈ε	Q␈↓ βλ␈εβa␈α␈nd␈ε	␈α∂R␈εβ␈α∂such␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬⊂␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ=␈↓ ¬n␈ε	Q␈↓ εε␈ε	v␈↓ ε,␈εβ+␈ε	␈α
R␈εβ␈α↓,␈α⊂where␈↓ πm␈εβde␈α␈g␈↓ λ∨␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α⊃<␈↓ 	∂␈εβd␈α␈eg␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	v␈↓ 	g␈εβ).␈↓ 
)␈εβW␈α↓e␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈β⊂&␈↓ ¬∨␈εε1␈↓ ε∃␈εε2␈↓ 	[␈εε2
␈β⊂?␈↓ πW␈ε~0
␈β⊂@␈↓ λα␈εα)
␈β⊂C␈↓ α␈ε	u␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε	Q␈↓ αO␈ε	v␈↓ αr␈εβ+␈ε	␈απR␈εβ)␈α
=␈↓ βp␈ε	u␈↓ ∧⊂␈ε	v␈↓ ∧+␈εβ,␈αso␈↓ ∧h␈ε	u␈↓ ¬λ␈ε	R␈εβ␈α
=␈α	(␈↓ ¬↑␈ε	u␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	u␈↓ εN␈ε	Q␈↓ εf␈εβ)␈↓ εq␈ε	v␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π@␈ε	R␈↓ π]␈ε	v␈↓ πy␈εβ.
␈β⊂N␈↓ α∨␈εε1␈↓ α↑␈εε2␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ εA␈εε1␈↓ π␈εε2␈↓ πl␈εε2
␈β⊂r␈↓ βU␈ε~0␈↓ ∧∞␈ε~0␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ ¬@␈ε~0␈↓ πs␈ε~0␈↓ 	∀␈ε~0␈↓ ↔␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓M␈ε∪C4.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈α
(␈↓ αO␈ε	w␈↓ αr␈εβ,␈↓ βε␈ε	w␈↓ β(␈εβ,␈↓ β<␈ε	w␈↓ βa␈εβ,␈↓ βu␈ε	w␈↓ ∧~␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	z␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬∧␈ε	z␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬2␈ε	z␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	u␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε3␈εβ,␈↓ εF␈ε	v␈↓ εb␈εβ,␈↓ εu␈ε	v␈↓ π⊂␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(␈↓ πZ␈ε	w␈↓ λε␈ε↔␈␈↓ λ-␈ε	w␈↓ λP␈ε	Q␈↓ λh␈εβ,␈↓ λ{␈ε	w␈↓ 	'␈ε↔␈␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	q␈ε	Q␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
S␈ε	w␈↓ 
u␈εβ,␈↓ 	␈ε	z␈↓ #␈εβ,
␈β⊃↓␈↓ αf␈εε1␈↓ β≤␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ¬s␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ εU␈εε1␈↓ π∧␈εε2␈↓ λC␈εε1␈↓ 	d␈εε2␈↓ 
2␈εε1␈↓ 
i␈εε2
␈β⊃ε␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ¬@␈εε2␈↓ πs␈εε1␈↓ 	∀␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β⊃~␈↓ α~␈ε~0␈↓ β≥␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~0
␈β⊃≡␈↓ α␈ε	z␈↓ α&␈εβ,␈↓ α8␈ε	z␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ αx␈ε	Q␈↓ β⊂␈ε	z␈↓ β*␈εβ,␈↓ β<␈ε	z␈↓ βW␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	Q␈↓ ∧∪␈ε	z␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε	u␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬P␈ε	u␈↓ ¬p␈εβ,␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε≥␈εβ,␈↓ ε/␈ε	v␈↓ εN␈ε↔␈␈↓ εr␈ε	Q␈↓ π
␈ε	v␈↓ π%␈εβ)␈αλand␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ∪␈ε↔ ␈↓ λ>␈ε	n␈↓ λU␈εβ+␈αβ1.␈α
Go␈αλb␈α␈ack␈απto␈αλC2␈α␈.
␈β⊃ ␈↓ ~␈∧⊃ ~≠∂
␈β⊃)␈↓ αC␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ∧S␈εε2␈↓ ¬~␈εε1␈↓ ¬d␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ ε>␈εε1␈↓ π→␈εε2
␈β⊃-␈↓ α~␈εε2␈↓ β≥␈εε1␈↓ ∧!␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ ~␈εα5
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈α
ex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αi␈α↓n␈α␈clud␈α␈es␈α
mos␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α
the␈α
fea␈α␈tures␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
seen
␈βαS␈↓ ↓H␈εβin␈α
pre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈l␈α↓l␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αtime␈α␈,␈αso␈αit␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ides␈α
new␈α
i␈α↓n␈α␈sigh␈α␈t␈α
in␈α␈to␈α
the␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ases␈αalread␈α␈y␈αcon␈α␈sidered␈α␈.␈α
To␈αpro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αv␈α␈alid,␈αn␈α␈ote␈α|rst␈αtha␈α␈t␈αd␈α␈eg(␈↓ 	N␈ε	v␈↓ 	i␈εβ)␈αd␈α␈ecrea␈α␈ses␈αin
␈ββ¬␈↓ 	]␈εε2
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈α	C4␈α␈,␈α
so␈α	th␈α␈e␈α	algo␈α␈rithm␈α	c␈α␈ertain␈α␈l␈α↓y␈αλtermin␈α␈ates.␈α
A␈α↓t␈αλthe␈α	co␈α␈nc␈α␈l␈α↓u␈α␈sion␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈↓ 
r␈ε	v␈↓ ⊗␈εβis
␈ββ,␈↓ ↓␈εε1
␈ββE␈↓ πa␈εn␈↓ 
3␈εn
␈ββI␈↓ ↓H␈εβa␈αλco␈α␈mmon␈αλrigh␈α}t␈α	d␈α␈ivisor␈αλof␈↓ ∧A␈ε	V␈↓ ∧i␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬'␈ε	V␈↓ ¬F␈εβ,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε'␈ε	w␈↓ εJ␈ε	v␈↓ εo␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πr␈ε	V␈↓ λ→␈εβan␈α␈d␈ε↔␈α	␈␈↓ λy␈ε	w␈↓ 	≤␈ε	v␈↓ 	@␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 
(␈εβ)␈↓ 
C␈ε	V␈↓ 
b␈εβ;␈α
also
␈ββT␈↓ ∧S␈εε1␈↓ ¬9␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εY␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	*␈εε1␈↓ 
V␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	d␈↓ α¬␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αrigh␈α␈t␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈or␈αof␈↓ ¬R␈ε	V␈↓ ¬|␈εβan␈α␈d␈↓ ε=␈ε	V␈↓ ε\␈εβ,␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈αrigh␈α}t␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 	5␈ε	z␈↓ 	M␈ε	V␈↓ 	t␈εβ+␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
4␈ε	V␈↓ 
]␈εβ=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ.
␈ββ|␈↓ ¬d␈εε1␈↓ εP␈εε2␈↓ 	@␈εε1␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
(␈εε2␈↓ 
G␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α+␈ε	v␈↓ αQ␈εβ=␈↓ α⎇␈εβg␈α␈crd␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	V␈↓ βf␈εβ,␈↓ βu␈ε	V␈↓ ∧∀␈εβ).␈α∞Also␈αif␈↓ ¬!␈ε	m␈↓ ¬J␈εβis␈αan␈α␈y␈αcom␈α␈mon␈αleft␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 	~␈ε	V␈↓ 	E␈εβand␈↓ 
π␈ε	V␈↓ 
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay
␈β∧#␈↓ α9␈εε1␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧π␈εε2␈↓ 	-␈εε1␈↓ 
~␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈αwitho␈α␈ut␈αlos␈α␈s␈αof␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε$␈εβ=␈↓ εO␈ε	U␈↓ εq␈ε	V␈↓ π→␈εβ=␈↓ πD␈ε	U␈↓ πe␈ε	V␈↓ λ∧␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α
of␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈β∧K␈↓ εd␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ πY␈εε2␈↓ πx␈εε2
␈β∧d␈↓ πT␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ 	p␈εn␈↓ 
9␈ε~0
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	Q␈↓ α⊃␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
dep␈α␈en␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ ∧6␈ε	U␈↓ ∧b␈εβan␈α␈d␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬D␈εβ.␈αHe␈α␈nce␈↓ ε:␈ε	m␈↓ εa␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πH␈εβ)␈↓ πd␈εβ(␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λJ␈εβ)␈↓ λU␈ε	V␈↓ λ}␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 	e␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ(␈↓ 
␈ε	u␈↓ 
,␈ε	z␈↓ 
F␈εβ)␈↓ 
Q␈ε	V␈↓ 
{␈εβis␈αa
␈β∧r␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ λh␈εε1␈↓ 
∨␈εε2␈↓ 
d␈εε2
␈β∧w␈↓ λ>␈εε1␈↓ 
9␈εε2
␈β¬␈↓ α␈␈ε~0
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiple␈αof␈↓ αq␈ε	z␈↓ β␈ε	V␈↓ β*␈εβ.
␈β¬~␈↓ β≡␈εε1
␈β¬∨␈↓ α␈␈εε1
␈β¬7␈↓ α␈εβIn␈α
pra␈α␈ctice,␈α∞i␈α↓f␈α
w␈α␈e␈α∞ju␈α␈st␈α∞wan␈α}t␈α∞to␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α
gcr␈α␈d(␈↓ π3␈ε	V␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	V␈↓ λ␈εβ),␈α∂w␈α␈e␈α
may␈α
su␈α␈pp␈α␈ress␈α
the␈α
com␈α␈-
␈β¬B␈↓ πF␈εε1␈↓ πs␈εε2
␈β¬[␈↓ ∧+␈ε~0␈↓ ∧f␈ε~0␈↓ ¬q␈ε~0␈↓ ε!␈ε~0
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈uta␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ αx␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β!␈ε	w␈↓ βD␈εβ,␈↓ βZ␈ε	w␈↓ β|␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	w␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	w␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε	z␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	z␈↓ ¬M␈εβ,␈↓ ¬c␈ε	z␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	z␈↓ ε-␈εβ.␈α∂Th␈α␈ese␈αad␈α␈dition␈α␈al␈αqu␈α␈an␈α␈tities␈αw␈α␈ere␈αa␈α␈dd␈α␈ed␈αto
␈β¬i␈↓ β7␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬A␈εε2
␈β¬n␈↓ ∧+␈εε1␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ¬q␈εε1␈↓ ε!␈εε2
␈βεε␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αp␈α␈rimarily␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α
i␈α↓ts␈αv␈α␈alidity␈αm␈α␈ore␈αrea␈α␈dily␈αesta␈α␈blishe␈α␈d.
␈βε.␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∂No␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials,␈α
such␈αa␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈le␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βεU␈↓ ↓H␈εβwith␈α
this␈αex␈α␈e␈α␈rcise,␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈α
from␈αma␈α␈trix␈αiden␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αsuch␈α
as
␈βπ~␈↓ ↓i␈ε↓∩␈↓ αw␈ε↓∪␈↓ β
␈ε↓∩␈↓ ∧≠␈ε↓∪␈↓ ∧1␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∪␈↓ ¬U␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ εt␈ε↓∩␈↓ π⎇␈ε↓∪␈↓ λ∪␈ε↓∩␈↓ 	≠␈ε↓∪␈↓ 	e␈ε↓∩␈↓ 
l␈ε↓∪
␈βπ ␈↓ αβ␈ε	a␈↓ αc␈εβ1␈↓ β(␈ε	b␈↓ ∧π␈εβ1␈↓ ∧M␈ε	c␈↓ ¬+␈εβ1␈↓ ¬o␈εβ0␈↓ εJ␈εβ1␈↓ π∞␈εβ0␈↓ πh␈εβ1␈↓ λ,␈εβ0␈↓ 	π␈εβ1␈↓ 	␈␈εβ1␈↓ 
X0
␈βπ6␈↓ 	;␈εβ=␈↓ α␈εβ,
␈βπN␈↓ αβ␈εβ1␈↓ αc␈εβ0␈↓ β'␈εβ1␈↓ ∧π␈εβ0␈↓ ∧K␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬o␈εβ1␈↓ ε*␈ε↔␈␈↓ εK␈ε	c␈↓ π∞␈εβ1␈↓ πI␈ε↔␈␈↓ πj␈ε	b␈↓ λ,␈εβ1␈↓ λf␈ε↔␈␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	␈␈εβ0␈↓ 
X1
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈i␈α↓s␈αide␈α␈n␈α␈tities␈αho␈α␈l␈α↓d␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis␈αn␈α␈ot␈αcom␈α␈m␈α␈uta␈α␈tiv␈α␈e.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈βλb␈↓ βh␈εβ(␈↓ βt␈ε	a␈↓ ∧∧␈ε	b␈↓ ∧⊃␈ε	c␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧N␈ε	a␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε	c␈↓ ¬≤␈εβ)(1␈απ+␈↓ ¬s␈ε	b␈↓ ε␈ε	a␈↓ ε⊂␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ εZ␈ε	a␈↓ εk␈ε	b␈↓ ε␈␈εβ+␈αλ1)(␈↓ πO␈ε	c␈↓ π\␈ε	b␈↓ πi␈ε	a␈↓ λ↓␈εβ+␈↓ λ*␈ε	a␈↓ λB␈εβ+␈↓ λj␈ε	c␈↓ λw␈εβ).
␈β	-␈↓ ↓H␈εβ(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwith␈αth␈α␈e␈α\c␈α␈on␈α␈tin␈α}uan␈α}t␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials"␈αof␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)
␈β	←␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αb␈α␈y␈αMich␈α␈ael␈αFredm␈α␈an.)␈α≤If␈αsu␈α␈ch␈αan␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈α
e␈α␈xists,␈↓ 	≥␈ε	D␈↓ 	B␈εβis␈α
a␈αg␈α␈crd␈αb␈α␈y␈αthe
␈β
ε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α	in␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
1␈α␈8.␈αLet␈α	us␈α	rega␈α␈rd␈↓ ¬y␈ε	A␈↓ ε→␈εβan␈α␈d␈↓ εX␈ε	B␈↓ εx␈εβas␈α	a␈α	si␈α↓n␈α␈gle␈α	2␈↓ λ%␈ε	n␈↓ λ>␈ε↔α␈↓ λe␈ε	n␈↓ 	β␈εβm␈α␈atrix␈↓ 	n␈ε	C␈↓ 
∪␈εβwh␈α␈ose␈α	|rs␈α␈t
␈β
.␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓f␈εβro␈α}w␈α↓s␈α
a␈α␈re␈α
tho␈α␈se␈α
of␈↓ βd␈ε	A␈↓ βz␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
wh␈α␈ose␈α
se␈α␈con␈α␈d␈↓ ε→␈ε	n␈↓ ε7␈εβro␈α␈ws␈α
are␈α
th␈α␈ose␈α
o␈α␈f␈↓ λ5␈ε	B␈↓ λL␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈rl␈α↓y␈α␈,␈↓ 	w␈ε	P␈↓ 
_␈εβand␈↓ 
X␈ε	Q␈↓ 
z␈εβcan
␈β
U␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α
co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈α
in␈α}to␈α
a␈α	2␈↓ βt␈ε	n␈↓ ∧∞␈ε↔α␈↓ ∧5␈ε	n␈↓ ∧S␈εβma␈α␈trix␈ε	␈α
R␈εβ;␈↓ ¬i␈ε	X␈↓ ε∂␈εβa␈α␈nd␈↓ εN␈ε	Y␈↓ εq␈εβca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈α
in␈α}to␈α
an␈↓ 	[␈ε	n␈↓ 	u␈ε↔α␈εβ␈αε2␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
J␈εβmatrix
␈β
⎇␈↓ ↓H␈ε	Z␈↓ ↓←␈εβ.␈α
The␈αdesired␈αco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αn␈α␈o␈α␈w␈αre␈α␈du␈α␈ce␈αto␈αt␈α␈w␈α␈o␈αe␈α␈qua␈α␈tions␈↓ πy␈ε	C␈↓ λ≡␈εβ=␈ε	␈αR␈↓ λa␈ε	D␈↓ λz␈εβ,␈↓ 	∂␈ε	D␈↓ 	3␈εβ=␈↓ 	↑␈ε	Z␈↓ 	v␈ε	C␈↓ 
⊃␈εβ.␈α
If␈αw␈α␈e␈αcan
␈β ␈↓ 
l␈ε~␈␈εε1
␈β%␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α	a␈α	2␈↓ α4␈ε	n␈↓ αM␈ε↔α␈εβ␈αε2␈↓ β¬␈ε	n␈↓ β#␈εβin␈α}teger␈α	matrix␈↓ ∧{␈ε	U␈↓ ¬ ␈εβof␈α	dete␈α␈rmina␈α␈n␈α␈t␈ε↔␈α
ε␈εβ1␈α	such␈α	th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
la␈α␈st␈↓ 	B␈ε	n␈↓ 	`␈εβro␈α}ws␈α
of␈↓ 
Q␈ε	U␈↓ ∩␈ε	C
␈βH␈↓ 	 ␈ε~␈␈εε1
␈βL␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
all␈α
zer␈α␈o,␈α
then␈ε	␈α	R␈εβ␈α	=␈α
(|rs␈α␈t␈↓ ∧]␈ε	n␈↓ ∧{␈εβcolu␈α␈mns␈α	of␈↓ ε!␈ε	U␈↓ ε<␈εβ),␈↓ ε[␈ε	D␈↓ ε⎇␈εβ=␈α	(␈α↓|␈α␈rst␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ∀␈εβro␈α}ws␈α
of␈↓ 	¬␈ε	U␈↓ 	F␈ε	C␈↓ 	a␈εβ),␈↓ 	␈␈ε	Z␈↓ 
 ␈εβ=␈α	(|rst␈↓ _␈ε	n
␈βp␈↓ αR␈ε~␈␈εε1
␈βt␈↓ ↓H␈εβro␈α}ws␈α	of␈↓ α7␈ε	U␈↓ αx␈εβ)␈α	solv␈α␈e␈α␈s␈α	the␈α	d␈α␈esired␈αλcon␈α␈dition␈α␈s.␈αHen␈α␈ce,␈α
fo␈α␈r␈α	exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α	the␈αλf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β≠␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αus␈α␈ed␈α(with␈↓ βa␈ε	m␈↓ ∧π␈εβ=␈α
2␈↓ ∧C␈ε	n␈↓ ∧W␈εβ):
␈βV␈↓ ↓H␈ε∪Algo␈α␈rithm␈αT␈εβ␈α(␈ε⊂Trian␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈εβ)␈ε∪.␈εβ␈α~Let␈↓ ¬J␈ε	C␈↓ ¬p␈εβbe␈αan␈↓ εL␈ε	m␈↓ εq␈ε↔α␈↓ π~␈ε	n␈↓ π9␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers.␈α
Th␈α␈is␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β}␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α∃␈ε	m␈↓ α6␈ε↔α␈↓ α[␈ε	m␈↓ β↓␈εβin␈α␈te␈α␈ger␈αλmatrice␈α␈s␈↓ ∧o␈ε	U␈↓ ¬∩␈εβand␈↓ ¬Q␈ε	V␈↓ ¬q␈εβsu␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ π␈ε	U␈↓ π≠␈ε	V␈↓ π<␈εβ=␈↓ πf␈ε	I␈↓ π}␈εβa␈α␈nd␈↓ λ<␈ε	V␈↓ λT␈ε	C␈↓ λw␈εβis␈α	\u␈α␈pp␈α␈er␈αλtriang␈α␈ular."
␈β
&␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αen␈α␈tr␈α␈y␈αin␈αro␈α␈w␈↓ βV␈ε	i␈↓ βn␈εβa␈α␈nd␈α
colum␈α␈n␈↓ ¬#␈ε	j␈↓ ¬=␈εβof␈↓ ¬d␈ε	V␈↓ ¬|␈ε	C␈↓ ε"␈εβis␈αzer␈α␈o␈αif␈↓ π)␈ε	i␈↓ π?␈εβ>␈↓ πi␈ε	j␈↓ πx␈εβ.)
␈β
W␈↓ ↓O␈ε∪T1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α$S␈α␈et␈↓ ∧π␈ε	U␈↓ ∧4␈ε↔ ␈↓ ∧g␈ε	V␈↓ ¬⊃␈ε↔ ␈↓ ¬D␈ε	I␈↓ ¬S␈εβ,␈α⊃the␈↓ ε,␈ε	m␈↓ εT␈ε↔α␈↓ π␈ε	m␈↓ π-␈εβi␈α↓d␈α␈en␈α␈tity␈α∂matrix;␈α∪a␈α␈nd␈α∂set␈↓ 
,␈ε	T␈↓ 
U␈ε↔ ␈↓ λ␈ε	C␈↓ #␈εβ.
␈β
␈␈↓ α␈εβ(Thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αw␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε`␈ε	T␈↓ π␈εβ=␈↓ π+␈ε	V␈↓ πC␈ε	C␈↓ πi␈εβa␈α␈nd␈↓ λ)␈ε	U␈↓ λD␈ε	V␈↓ λf␈εβ=␈α	1.)
␈β∞0␈↓ ↓O␈ε∪T2.␈↓ α␈εβ[Iterate␈απo␈α␈n␈↓ β'␈ε	j␈↓ β6␈εβ.]␈α⊂Do␈απstep␈απT3␈απfo␈α␈r␈↓ ¬-␈ε	j␈↓ ¬E␈εβ=␈α	1,␈αλ2,␈↓ ε3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εq␈εβmin␈↓ π(␈εβ(␈↓ π4␈ε	m␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π`␈ε	n␈↓ πt␈εβ),␈αλan␈α␈d␈απtermin␈α␈ate␈απth␈α␈e␈αλa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈β∞a␈↓ ↓O␈ε∪T3.␈↓ α␈εβ[Z␈α↓e␈α␈ro␈αλou␈α␈t␈αλcolum␈α␈n␈↓ ∧λ␈ε	j␈↓ ∧↔␈εβ.]␈α∩P␈α↓e␈α␈rform␈αλth␈α␈e␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αλtra␈α␈nsform␈α␈ation␈αλz␈α␈ero␈αλor␈αλm␈α␈ore␈αλtimes␈αλu␈α␈n␈α␈til
␈β∂	␈↓ α␈ε	T␈↓ αC␈εβi␈α↓s␈α
zer␈α␈o␈α
for␈α
all␈↓ ∧⊗␈ε	i␈↓ ∧/␈εβ>␈↓ ∧↑␈ε	j␈↓ ∧m␈εβ:␈α∂Let␈↓ ¬E␈ε	T␈↓ ¬}␈εβbe␈α
a␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈α
of␈ε↔␈α
f␈↓ 	␈ε	T␈↓ 	*␈εβ,␈↓ 	9␈ε	T␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
V␈εβ,␈↓ 
e␈ε	T␈↓ ≤␈ε↔g
␈β∂∀␈↓ α∨␈εi␈↓ α*␈εj␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬e␈εj␈↓ 	∪␈εi␈↓ 	≡␈εj␈↓ 
x␈εm␈↓ ⊂␈εj
␈β∂∃␈↓ 	L␈εε(␈↓ 	U␈εj␈↓ 	a␈εε+1)␈↓ 
∂␈εj
␈β∂1␈↓ α␈εβha␈α␈vin␈α␈g␈α
the␈α
s␈α␈mallest␈α
ab␈α␈solute␈α
v␈α␈alu␈α␈e.␈αIn␈α␈terc␈α␈han␈α␈ge␈α
ro␈α}ws␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ-␈εβa␈α␈nd␈↓ λm␈ε	j␈↓ 	ε␈εβo␈α␈f␈↓ 	+␈ε	T␈↓ 	M␈εβa␈α␈nd␈α	of␈↓ 
2␈ε	V␈↓ 
J␈εβ;␈αin␈α␈te␈α␈r-
␈β∂X␈↓ α␈εβch␈α␈an␈α␈ge␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈↓ β|␈ε	k␈↓ ∧_␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧X␈ε	j␈↓ ∧r␈εβof␈↓ ¬→␈ε	U␈↓ ¬4␈εβ.␈αTh␈α␈en␈α
sub␈α␈tract␈ε↔␈αb␈↓ π0␈ε	T␈↓ πZ␈εβ/␈↓ πj␈ε	T␈↓ λ⊗␈ε↔c␈εβ␈αtimes␈αro␈α}w␈↓ 	F␈ε	j␈↓ 	`␈εβf␈α↓r␈α␈om␈αro␈α␈w␈↓ 
p␈ε	i␈↓ 
|␈εβ,␈αin
␈β∂c␈↓ πC␈εi␈↓ πN␈εj␈↓ π}␈εj␈↓ λ
␈εj
␈β⊂␈↓ α␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ β∩␈ε	T␈↓ β5␈εβa␈α␈nd␈↓ βv␈ε	V␈↓ ∧∞␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈dd␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ λR␈ε	i␈↓ λj␈εβto␈αcolum␈α␈n␈↓ 
	␈ε	j␈↓ 
#␈εβin␈αmatrix
␈β⊂'␈↓ α␈ε	U␈↓ α'␈εβ,␈αfo␈α␈r␈↓ αo␈ε	j␈↓ βλ␈εβ<␈↓ β2␈ε	i␈↓ βH␈ε↔∀␈↓ βs␈ε	m␈↓ ∧⊂␈εβ.
␈β⊂)␈↓ ∧>␈∧⊂)∧>≠∂
␈β⊂G␈↓ εY␈εε1␈↓ εw␈εε2␈↓ πU␈εε1␈↓ πr␈εε0␈↓ λ≤␈εε1␈↓ λS␈εε2␈↓ 	∂␈εε4␈↓ 	,␈εε3␈↓ 

␈εε4␈↓ 
'␈εε5␈↓ 
Q␈εε1␈↓ λ␈εε2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αλthe␈αλsta␈α␈ted␈απexa␈α␈mple,␈α	th␈α␈e␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απyields␈αλ(␈↓ ππ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ λα␈εβ)(␈↓ λc␈εβ),␈α	(␈↓ 	<␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ 
7␈εβ)␈α↓(␈↓ _␈εβ),
␈β⊂←␈↓ εY␈εε3␈↓ εw␈εε4␈↓ πU␈εε3␈↓ πr␈εε2␈↓ λ≤␈εε0␈↓ λ9␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	,␈εε1␈↓ 

␈εε2␈↓ 
'␈εε3␈↓ 
Q␈εε0␈↓ 
o␈ε~␈␈εε1
␈β⊂o␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α
␈εε2␈↓ αk␈εε1␈↓ β!␈εε0␈↓ βL␈εε1␈↓ βi␈εε2␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε4␈↓ ¬#␈εε3
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α≥␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ β2␈εβ)(␈↓ βy␈εβ)␈α¬+␈αε(␈↓ ∧l␈εβ)(␈↓ ¬4␈εβ).␈α∃(Actu␈α␈ally␈ε⊂␈α	an␈α}y␈εβ␈α	matrix␈α	with␈α	d␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈ε↔␈α	ε␈εβ1␈α	wo␈α␈uld
␈β⊃π␈↓ ↓V␈εε0␈↓ ↓t␈ε~␈␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ βλ␈ε~␈␈εε2␈↓ βL␈εε3␈↓ βi␈εε4␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε2␈↓ ¬#␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αg␈α␈crd␈αin␈αth␈α␈is␈αpar␈α␈ti␈α↓c␈α␈ular␈αca␈α␈se.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα6␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα'␈↓ πp␈εm
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβIt␈απm␈α␈ay␈αεbe␈αεhelp␈α␈ful␈απto␈αεcon␈α␈sider␈αεex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓2␈α␈↑2␈α␈2␈απwith␈↓ π←␈ε	p␈↓ λ∞␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αεb␈α␈y␈απa␈αεsma␈α␈l␈α↓l␈αεn␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ.
␈βα↑␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α	Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α	R␈α	is␈α	use␈α␈d␈α	on␈α␈ly␈α	wh␈α␈en␈↓ εe␈ε	m␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ π-␈ε	n␈↓ πJ␈ε↔∀␈εβ␈α
1;␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈ββε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α(␈α↓2␈α␈5)␈αwi␈α↓th␈↓ ∧G␈ε	m␈↓ ∧n␈εβ=␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬-␈εβ.␈α~[␈α↓Th␈α␈e␈αstated␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αis,␈αin␈αfact,␈αth␈α␈e␈αex␈α␈ec␈α␈ution␈αtime
␈ββ.␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bser␈α␈v␈α␈ed␈α	in␈α	p␈α␈ractice,␈α
n␈α␈ot␈α	mere␈α␈l␈α↓y␈αλan␈α	u␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈.␈αFor␈α	more␈α	d␈α␈etailed␈α	info␈α␈rmatio␈α␈n␈α	see␈α	G.
␈ββU␈↓ ↓H␈εβE.␈αCollins,␈ε⊂␈αProc.␈α19␈α␈68␈αS␈α␈um␈α␈mer␈αIns␈α␈t.␈αo␈α␈n␈αS␈α␈ym␈α␈b␈α␈olic␈αMa␈α␈th.␈αCo␈α␈mp.␈εβ,␈αRob␈α␈ert␈αG.␈αTob␈α␈ey,␈αed␈α␈.
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈εβ(IBM␈αFed␈α␈eral␈αS␈α␈ystem␈α␈s␈αCen␈α␈ter␈α␈,␈αJ␈α␈un␈α␈e␈α196␈α␈9),␈α195␈α␈↑23␈α␈1.]
␈β∧0␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβA␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈απof␈αλsign␈α␈s␈αλca␈α␈nn␈α␈ot␈αλco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλc␈α␈on␈α␈secut␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αλze␈α␈ros,␈α	sin␈α␈ce␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	V␈εβ(␈↓ 	a␈ε	x␈↓ 	r␈εβ)␈αλis␈αλa␈αλn␈α␈on␈α␈zero
␈β∧;␈↓ 	#␈εk␈↓ 	0␈εε+1
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈αin␈α(28).␈αM␈α␈oreo␈α␈v␈α}er␈αw␈α␈e␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈α\+,␈α0␈α␈,␈α+"␈αor␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ"␈αa␈α␈s␈αsub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈es.
␈β∧␈␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ βε␈ε	V␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	u␈↓ β=␈εβ,␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧↔␈ε	V␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	b␈↓ ∧j␈εβ)␈αis␈α
cl␈α↓e␈α␈arly␈α
valid␈α
when␈↓ π5␈ε	b␈↓ πK␈εβ=␈↓ πv␈ε	a␈↓ λε␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
only␈α
v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α
it␈αa␈α␈s
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓a␈εβinc␈α␈reases.␈α∞Th␈α␈e␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ ∧w␈ε	u␈↓ ¬⊗␈εβ(␈↓ ¬!␈ε	x␈↓ ¬2␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α}e␈α|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αroots,␈αan␈α␈d␈↓ 	π␈ε	V␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	L␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ)␈αc␈α␈han␈α␈ges␈αo␈α␈nly
␈β¬1␈↓ ¬
␈εj
␈β¬N␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	b␈↓ α8␈εβenc␈α␈oun␈α}ters␈αo␈α␈r␈αp␈α␈asses␈αsu␈α␈ch␈αroo␈α␈ts.␈α∞Let␈↓ εU␈ε	x␈↓ εs␈εβb␈α␈e␈αa␈αroo␈α␈t␈αof␈αso␈α␈me␈α(p␈α␈ossibly␈αsev␈α}eral)␈↓ ∧␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β¬Y␈↓ ↔␈εj
␈β¬v␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈↓ α)␈ε	b␈↓ αB␈εβinc␈α␈reases␈αfro␈α␈m␈↓ ∧≡␈ε	x␈↓ ∧7␈ε↔␈␈↓ ∧a␈ε	∂␈↓ ∧z␈εβto␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ,␈αthe␈αsign␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αnea␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβgoe␈α␈s␈αfrom␈α\␈α␈+␈α↓,␈ε↔␈αε␈εβ,␈ε↔␈α
␈␈εβ"␈αto
␈βε≡␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈+␈α↓,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αor␈αfrom␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓,␈α+"␈αto␈α\␈ε↔␈α␈␈␈εβ␈α↓,␈α0␈α␈,␈α+␈α↓"␈αif␈↓ π~␈ε	j␈↓ π3␈εβ>␈α0␈α␈;␈α
a␈α␈nd␈αfrom␈α\+,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αto␈α\0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"
␈βεA␈↓ πα␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0
␈βεE␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
from␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α
+␈α↓"␈αto␈α\0,␈α
+"␈α
if␈↓ ¬␈ε	j␈↓ ¬'␈εβ=␈α0␈α␈.␈α≥(Sin␈α␈ce␈↓ εn␈ε	u␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	x␈↓ π%␈εβ)␈αi␈α↓s␈αthe␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈↓ 	B␈ε	u␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	x␈↓ 	y␈εβ)␈αi␈α↓s␈αneg␈α␈ativ␈α␈e
␈βεm␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	u␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	x␈↓ αO␈εβ)␈αis␈αde␈α␈creasin␈α␈g.)␈α~Th␈α}us␈αthe␈αn␈α␈et␈αch␈α␈ang␈α␈e␈αi␈α↓n␈↓ π(␈ε	V␈↓ πK␈εβi␈α↓s␈ε↔␈α␈␈↓ λ∞␈ε	∞␈↓ λ3␈εβ.␈αWh␈α␈en␈↓ 	(␈ε	b␈↓ 	@␈εβi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses␈αfrom␈↓ ≠␈ε	x
␈βεw␈↓ λ~␈εj␈↓ λ&␈εε0
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	x␈↓ α	␈εβ+␈↓ α2␈ε	∂␈↓ α?␈εβ,␈αa␈αsimilar␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ε_␈ε	V␈↓ ε;␈εβrema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αun␈α␈cha␈α␈ng␈α␈ed.
␈βπ<␈↓ α␈εβ[L.␈α∂E.␈α∂Heind␈α␈el,␈ε⊂␈α⊂JA␈α␈CM␈ε∪␈α∞18␈εβ␈α∞(1␈α␈971␈α␈)␈α↓,␈α∂53␈α␈3↑5␈α␈48,␈α∂has␈α∞ap␈α␈plied␈α∞th␈α␈ese␈α∂id␈α␈eas␈α∞to␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈βπd␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfo␈α␈r␈αiso␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
the␈α
re␈α␈al␈αz␈α␈eroes␈α
of␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ λA␈ε	u␈↓ λU␈εβ(␈↓ λ`␈ε	x␈↓ λq␈εβ),␈αin␈α
time␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	by
␈βλ␈↓ ↓H␈εβa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αin␈αd␈α␈eg␈α␈(␈↓ βs␈ε	u␈↓ ∧π␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
log␈↓ ¬∩␈ε	N␈↓ ¬1␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ere␈α
all␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈↓ π{␈ε	y␈↓ λ!␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwi␈α↓t␈α␈h␈ε↔␈αj␈↓ 
(␈ε	u␈↓ 
G␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧␈ε	N␈↓ #␈εβ,
␈βλ⊗␈↓ λ
␈εj␈↓ 
;␈εj
␈βλ3␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈αa␈α␈re␈αgu␈α␈ara␈α␈n␈α␈teed␈α
to␈αb␈α␈e␈αexa␈α␈ct.]
␈βλf␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβIf␈↓ α*␈ε	v␈↓ αB␈εβhas␈↓ αz␈ε	n␈↓ β⊃␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈απreal␈απroots␈απocc␈α␈urrin␈α␈g␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απt␈α␈he␈↓ π→␈ε	n␈↓ π5␈εβre␈α␈al␈αλro␈α␈ots␈απof␈↓ λd␈ε	u␈↓ λy␈εβ,␈αλth␈α␈en␈απ(by␈απc␈α␈onsid␈α␈ering
␈β	∞␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈n␈αch␈α␈ang␈α␈es)␈↓ β∪␈ε	u␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	x␈↓ βD␈εβ)␈↓ βT␈εβmod␈↓ ∧→␈ε	v␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	x␈↓ ∧G␈εβ)␈αh␈α␈as␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬3␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αrea␈α␈l␈αro␈α␈ots␈αlyin␈α␈g␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αth␈α␈e␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αof␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
0␈εβ.
␈β	:␈↓ ∧a␈ε∞␈↓ ¬(␈ε∞␈↓ ¬`␈εε(1␈ε~␈␈↓ ε∞␈ε∞␈↓ εF␈εε)␈↓ π
␈ε∞␈↓ π ␈εε(1␈ε~␈␈↓ πN␈ε∞␈↓ πc␈εε)␈↓ πl␈εε...␈↓ λ↓␈εε(1␈ε~␈␈↓ λ/␈ε∞␈↓ λg␈εε)
␈β	A␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβFirst␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ β⎇␈ε	h␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	g␈↓ ¬→␈ε	g␈↓ εN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ε	g␈↓ λo␈εβ.␈α⊂The␈α␈n␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αthe
␈β	B␈↓ ∧k␈ε
j␈↓ ∧w␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬3␈ε
j␈↓ ¬>␈ε≠␈␈επ2␈↓ ε_␈ε
j␈↓ ε$␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ π∀␈επ1␈↓ πX␈επ2␈↓ λ9␈ε
j␈↓ λE␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β	L␈↓ ∧␈εj
␈β	S␈↓ ∧]␈εj␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬0␈ε~␈␈εε1␈↓ π
␈εε2
␈β	i␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ ββ␈ε	g␈↓ β+␈εβo␈α␈n␈α∞th␈α␈e␈α∞left-ha␈α␈nd␈α
side␈α
of␈α∞(18␈α␈)␈α∞has␈α
the␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ λ*␈ε	∞␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε	∞␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	 ␈εβ,␈α∂whe␈α␈re␈↓ 
≠␈ε	x␈↓ 
:␈εβ=␈↓ 
i␈ε	∞␈↓ ␈εβ+
␈β	s␈↓ β⊂␈εε2␈↓ λ6␈εε2␈↓ 	α␈εε1␈↓ 
u␈εε2
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α"␈ε	∞␈↓ αh␈εβ+␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ βV␈ε	∞␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	∞␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧F␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε	∞␈↓ ¬g␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ ε`␈ε	∞␈↓ εx␈εβ(1␈ε↔␈α	␈␈↓ πG␈ε	∞␈↓ π`␈εβ)(␈↓ πv␈ε	∞␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	∞␈↓ 	b␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈ε↔␈
␈β
≠␈↓ α.␈εj␈↓ α:␈ε~␈␈εε1␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧ε␈εε3␈↓ ¬,␈εj␈↓ ¬8␈ε~␈␈εε1␈↓ εl␈εε3␈↓ πS␈εε2␈↓ λα␈εε4␈↓ 	(␈εj␈↓ 	4␈ε~␈␈εε1
␈β
8␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ αε␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ αQ␈ε	∞␈↓ αj␈εβ)␈↓ α{␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β'␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βs␈ε	∞␈↓ ∧1␈εβ)(1)␈↓ ∧c␈εβ.␈αBut␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ=␈α
1,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈αis␈α
seen␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
of␈↓ 
/␈ε	∞␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
C␈↓ ↓T␈εj␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ α]␈εε2␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε2␈↓ 
;␈εj␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β
`␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α∞can␈α∞s␈α␈et␈↓ αt␈ε	∞␈↓ β@␈εβ=␈α⊂0␈α␈,␈α⊂etc␈α␈.␈α⊗A␈α∂s␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α∞de␈α␈ri␈α↓v␈α␈ation␈α∞w␈α␈o␈α␈rks␈α∞for␈↓ λ6␈ε	g␈↓ λP␈εβ,␈↓ λi␈ε	g␈↓ 	α␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	G␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞a␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α␈r
␈β
j␈↓ β␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε1␈↓ λC␈εε3␈↓ λv␈εε4
␈βπ␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈αw␈α␈or␈α␈ks␈αfor␈α(23␈α␈).
␈β;␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβEach␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ ∧$␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	x␈↓ ∧←␈εβ)␈αcan␈αbe␈αex␈α␈pre␈α␈ssed␈αa␈α␈s␈αa␈αde␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αon␈α␈e␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn
␈βE␈↓ ∧7␈εj
␈βb␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
on␈α␈ly␈↓ β_␈ε	#␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε	u␈↓ βE␈εβ),␈↓ βg␈ε	#␈↓ βu␈εβ(␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∞an␈α␈d␈α
zer␈α␈os.␈α⊃To␈α
use␈α
t␈α␈his␈α
fact,␈α∞m␈α␈odify␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
C␈α
a␈α␈s␈α
follo␈α␈ws:
␈βπ␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ¬2␈εα)
␈β
␈↓ ↓H␈εβIn␈αste␈α␈p␈αC1,␈α
set␈↓ β/␈ε	g␈↓ βK␈ε↔ ␈↓ βw␈εβgcd␈↓ ∧5␈ε	#␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	u␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ∧|␈ε	#␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬J␈εβan␈α␈d␈↓ ε␈ε	h␈↓ ε(␈ε↔ ␈εβ␈α0.␈α∂In␈αstep␈αC3,␈α
if␈↓ λQ␈ε	h␈↓ λm␈εβ=␈α0,␈α
set␈↓ 	v␈ε	u␈↓ 

␈εβ(␈↓ 
∃␈ε	x␈↓ 
'␈εβ)␈ε↔␈α ␈↓ 
j␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β-␈↓ ∧)␈ε∞
␈β1␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈↓ α:␈ε	r␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	x␈↓ αe␈εβ)/␈↓ β↓␈ε	g␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β'␈ε	h␈↓ βD␈ε↔ ␈↓ βq␈ε	#␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	u␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧6␈εβ/␈↓ ∧F␈ε	g␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧l␈ε	g␈↓ ¬λ␈ε↔ ␈↓ ¬6␈ε	#␈↓ ¬C␈εβ(␈↓ ¬N␈ε	u␈↓ ¬b␈εβ)␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
r␈α␈eturn␈αto␈αC2;␈α∞o␈α␈therwise␈αproc␈α␈eed␈αas␈α
in␈αthe
␈βY␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nm␈α␈odi|␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m.␈αTh␈α␈e␈α
e{ect␈α	of␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	new␈α	i␈α↓n␈α␈iti␈α↓a␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈α	is␈α
simply␈α	to␈α	replac␈α␈e␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈α	by
␈βd␈↓ 
J␈εj
␈β|␈↓ ε~␈εε2␈↓ ε'␈εj␈↓ ε3␈ε~␈␈εε4␈↓ λ'␈εε2␈↓ λ4␈εj␈↓ λ@␈ε~␈␈εε5
␈β}␈↓ αQ␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈εβ(␈↓ ↓r␈ε	x␈↓ αβ␈εβ)/␈↓ α∨␈εβgc␈α␈d␈↓ α]␈ε	#␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	u␈↓ β
␈εβ),␈↓ β$␈ε	#␈↓ β2␈εβ(␈↓ β=␈ε	v␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβfor␈αall␈↓ ∧R␈ε	j␈↓ ∧k␈ε↔∃␈εβ␈α	3;␈αth␈α␈u␈α␈s,␈↓ ε␈ε	#␈↓ εd␈εβwill␈αb␈α␈eco␈α␈me␈↓ λ→␈ε	#␈↓ λq␈εβin␈α
(27).
␈β
␈↓ ↓[␈εj
␈β
}␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.2
␈β∞Q␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβBy␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈ri␈α↓n␈α␈ciple␈α∞o␈α␈f␈α∞inclus␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞a␈α␈nd␈α
ex␈α␈clu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α∞(S␈α␈ection␈α
1.3.3),␈α∂t␈α␈he␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞poly␈α␈-
␈β∞W␈↓ ε∨␈ε↓␈␈↓ ε;␈ε↓↓
␈β∞[␈↓ ¬=␈ε↓P
␈β∞q␈↓ ε-␈εp
␈β∞u␈↓ εZ␈εn␈↓ εj␈ε~␈␈↓ πβ␈εk␈↓ πY␈εk␈↓ λ8␈εn␈↓ λH␈ε~␈␈↓ λb␈εp␈↓ 	]␈εp
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α∂witho␈α␈ut␈α∂linea␈α␈r␈α∂facto␈α␈rs␈α⊂is␈↓ εI␈ε	p␈↓ π⊃␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πN␈εβ)␈↓ πv␈εβ=␈↓ λ'␈ε	p␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	⊗␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ 	R␈εβ)␈↓ 	k␈εβ.␈α↔The␈α∂sta␈α␈ted
␈β∂	␈↓ ε-␈εk
␈β∂␈↓ ¬c␈εk␈↓ ¬p␈ε~∀␈↓ ε	␈εn
␈β∂"␈↓ ¬t␈εp␈↓ λb␈εε1
␈β∂&␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈α
th␈α␈erefore␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	1␈α␈/␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬i␈εβ)␈↓ εα␈εβ,␈α
which␈αis␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
th␈α␈an␈↓ λr␈εβ.␈α≥[In␈αfact,␈α
th␈α␈e␈α
sta␈α␈ted
␈β∂4␈↓ λb␈∧∂4λbα
␈β∂6␈↓ λb␈εε2
␈β∂J␈↓ ∧W␈εε1
␈β∂M␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an␈↓ ∧s␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬r␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.]
␈β∂\␈↓ ∧W␈∧∂\∧Wα
␈β∂↑␈↓ ∧W␈εε2
␈β⊂↓␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈αλWe␈αλkn␈α␈o␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈↓ ∧
␈ε	u␈↓ ∧!␈εβ(␈↓ ∧,␈ε	x␈↓ ∧>␈εβ)␈αλh␈α␈as␈αλa␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈απas␈αλa␈αλp␈α␈rod␈α␈uct␈αλo␈α␈f␈α	irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈α␈se␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αun␈α␈its,␈α
since␈αth␈α␈ey␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αthe
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α
of␈↓ ∧∧␈ε	u␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈ε	x␈↓ ∧5␈εβ).␈α∪T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈α∞w␈α␈e␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ λ8␈ε	u␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	x␈↓ λi␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α∞a␈α
rep␈α␈resen␈α}tation
␈β⊂s␈↓ π7␈εe␈↓ λB␈εe
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αa␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈αm␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ εs␈ε	p␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ε	p␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λ7␈εβ)␈↓ λX␈εβ,␈αwhere␈↓ 	N␈ε	p␈↓ 	k␈εβ(␈↓ 	v␈ε	x␈↓ 
π␈εβ),␈↓ 
'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
T␈εβ,␈↓ 
i␈ε	p␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊂z␈↓ λL␈ε
r
␈β⊂{␈↓ πA␈επ1
␈β⊃α␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ∞␈εr␈↓ 	↑␈εε1␈↓ 
y␈εr
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
d␈α␈istinct.␈α∂This␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αis␈α
u␈α␈niqu␈α␈e,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈α
for␈αth␈α␈e␈α
o␈α␈rder␈αof␈αthe␈αfacto␈α␈rs,␈α
so␈αthe
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ ~␈εα7
␈βα*␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈n␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈α↓,␈↓ βe␈ε	v␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧2␈ε	w␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε	x␈↓ ∧g␈εβ)␈αa␈α␈re␈αsatis|␈α␈ed␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈ly␈αif
␈βαf␈↓ βy␈ε~b␈↓ ∧β␈εe␈↓ ∧→␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ ¬,␈ε~b␈↓ ¬5␈εe␈↓ ¬L␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ π⎇␈εe␈↓ λ↔␈εεmod␈↓ λK␈εε2␈↓ 	G␈εe␈↓ 	b␈εεmo␈α␈d␈↓ 
∃␈εε2
␈βαk␈↓ αI␈ε	v␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	x␈↓ αw␈εβ)␈α	=␈↓ β5␈ε	p␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧<␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧h␈ε	p␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ εE␈ε	w␈↓ ε↑␈εβ(␈↓ εi␈ε	x␈↓ ε{␈εβ)␈α	=␈↓ π9␈ε	p␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	x␈↓ πr␈εβ)␈↓ λX␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	∧␈ε	p␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	x␈↓ 	<␈εβ)␈↓ 
"␈εβ.
␈βαl␈↓ ¬@␈ε
r␈↓ 	R␈ε
r
␈βαm␈↓ ∧
␈επ1␈↓ λλ␈επ1
␈βαv␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧x␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ 	∀␈εr
␈ββ-␈↓ α␈εβ(b)␈α
Th␈α␈e␈α
g␈α␈enera␈α␈ting␈αfun␈α␈ction␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
the␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mo␈α␈nic␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αof␈α
d␈α␈egree␈↓ 
u␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈ββP␈↓ αi␈εε2␈↓ ββ␈εε2
␈ββT␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ α	␈ε	p␈↓ α~␈ε	z␈↓ α/␈εβ+␈↓ αX␈ε	p␈↓ αu␈ε	z␈↓ β↔␈εβ+␈↓ β@␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βp␈εβ=␈α
1/␈α␈(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬	␈ε	p␈↓ ¬→␈ε	z␈↓ ¬'␈εβ).␈αThe␈αg␈α␈enera␈α␈ting␈αfu␈α␈nction␈α
for␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈ββx␈↓ ¬s␈εε2␈↓ 	<␈εε2␈↓ 
π␈εε2␈↓ 
!␈εε4
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α	of␈α
de␈α␈gree␈↓ β*␈ε	n␈↓ βH␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
form␈↓ ¬:␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ε␈εβ,␈α
where␈↓ εr␈ε	v␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈α
is␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α␈,␈αis␈α
1␈αε+␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	/␈ε	z␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	v␈ε	p␈↓ 
∀␈ε	z␈↓ 
4␈εβ+␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β∧∨␈↓ αQ␈εε2
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ α2␈ε	p␈↓ αC␈ε	z␈↓ α]␈εβ).␈αI␈α↓f␈α
th␈α␈e␈α
gen␈α␈era␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
fu␈α␈nction␈α	for␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mon␈α␈ic␈α
squ␈α␈arefree␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β∧G␈↓ 
(␈εε2
␈β∧K␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αd␈α␈egree␈↓ αW␈ε	n␈↓ αw␈εβis␈↓ β_␈ε	g␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	z␈↓ βA␈εβ),␈αth␈α␈en␈αby␈αp␈α␈art␈α(a)␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1/␈α␈(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈ε	z␈↓ λ8␈εβ)␈α
=␈↓ λy␈ε	g␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	z␈↓ 	!␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
	␈ε	p␈↓ 
~␈ε	z␈↓ 
5␈εβ).␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β∧o␈↓ β ␈εε2␈↓ ε'␈εε2␈↓ π∂␈εε2␈↓ πi␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ λ↑␈εε3
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ)␈α=␈α(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ β↓␈ε	p␈↓ β∩␈ε	z␈↓ β,␈εβ)/(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧'␈ε	z␈↓ ∧4␈εβ)␈α=␈α1␈απ+␈↓ ¬:␈ε	p␈↓ ¬K␈ε	z␈↓ ¬a␈εβ+␈α	(␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε;␈ε↔␈␈↓ εe␈ε	p␈↓ εv␈εβ)␈↓ π↓␈ε	z␈↓ π$␈εβ+␈αλ(␈↓ πX␈ε	p␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ(␈ε	p␈↓ λE␈εβ)␈↓ λP␈ε	z␈↓ λs␈εβ+␈↓ 	≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	I␈εβ.␈α∂The␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis
␈β¬⊗␈↓ ↓Y␈εn␈↓ α$␈εn␈↓ α4␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈ε~0
␈β¬↔␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ πQ␈εα(␈↓ λi␈εα)
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓m␈ε↔␈␈↓ α∪␈ε	p␈↓ αb␈εβfor␈↓ β∀␈ε	n␈↓ β1␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈↓ ∧∀␈εβCuriou␈α␈sly,␈α	this␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α	th␈α␈at␈↓ π∨␈εβg␈α␈cd␈↓ π]␈ε	u␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε	x␈↓ λ
␈εβ),␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ}␈εβ=␈α
1␈αλwith␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β¬?␈↓ π)␈εα(␈↓ λ8␈εα)
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ α*␈ε	p␈↓ α;␈εβ;␈αit␈αis␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ εw␈εβg␈α␈cd␈↓ π5␈ε	u␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	x␈↓ πe␈εβ),␈↓ π␈␈ε	v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	x␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λN␈εβ=␈α	1␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≤␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β¬g␈↓ ¬↑␈εα)
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈ε⊂␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈εβ,␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.6.1↑␈α␈5.
␈βε~␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	u␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈α∞=␈↓ βE␈ε	u␈↓ βe␈εβ(␈↓ βp␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈ε	u␈↓ ∧↑␈εβ(␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ).␈α∀T␈α↓h␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∞a␈α␈t␈α∞most␈εβ␈α∞o␈α␈ne␈α∞su␈α␈ch␈↓ λ9␈ε	v␈↓ λJ␈εβ(␈↓ λU␈ε	x␈↓ λf␈εβ)␈α↓,␈α∂b␈α␈y␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈α∞o␈α␈f
␈βε%␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧R␈εr
␈βεB␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α∞4.3.2C␈↓ β6␈εβ.␈α∃Th␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∂a␈α␈t␈α∂lea␈α␈st␈εβ␈α∂o␈α␈ne␈α∞if,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂e␈α␈ach␈↓ πL␈ε	j␈↓ π[␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α
solv␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞system␈α∞with
␈βεK␈↓ 	!␈ε↓Q
␈βεi␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈ε	x␈↓ αε␈εβ)␈α
=␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ β"␈ε	w␈↓ βE␈εβ(␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βb␈εβ)␈α	=␈α
0␈αfor␈↓ ∧q␈ε	k␈↓ ¬␈ε↔≤␈↓ ¬5␈ε	j␈↓ ¬D␈εβ.␈αA␈αsolutio␈α␈n␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αis␈↓ λY␈ε	v␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊂␈εβ)␈↓ 	{␈ε	u␈↓ 
≠␈εβ(␈↓ 
&␈ε	x␈↓ 
8␈εβ),␈αwhere
␈βεt␈↓ ↓↑␈εj␈↓ β8␈εk␈↓ λg␈εε1␈↓ 
∞␈εk
␈βε|␈↓ 	C␈εk␈↓ 	P␈ε~≤␈↓ 	i␈εj
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ αV␈ε	v␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	x␈↓ β∞␈εβ)␈αcan␈α
be␈αfou␈α␈nd␈α
satisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g
␈βπ!␈↓ ↓V␈εε1␈↓ αe␈εε2
␈βπ:␈↓ βY␈ε↓Q
␈βπX␈↓ β⊃␈ε	v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ(␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ∧p␈εβ)␈α
+␈↓ ¬6␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ)␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	x␈↓ ε5␈εβ)␈α	=␈α
1,␈↓ π[␈εβdeg␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	v␈↓ λ4␈εβ)␈α	<␈↓ λs␈εβd␈α␈eg␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	u␈↓ 	O␈εβ),
␈βπb␈↓ β ␈εε1␈↓ ∧F␈εk␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ε␈εj␈↓ λ'␈εε1␈↓ 	C␈εj
␈βπj␈↓ β{␈εk␈↓ ∧	␈ε~≤␈↓ ∧"␈εj
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αof␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
(␈α↓e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑3␈α␈).
␈βλ1␈↓ 	"␈ε↓Q
␈βλK␈↓ λH␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
E␈εn␈↓ 
`␈ε~␈␈↓ 
z␈εa
␈βλO␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α¬u␈α␈niqu␈α␈e␈αεfac␈α␈torizatio␈α␈n␈α¬theo␈α␈rem␈α¬giv␈α␈es␈α¬the␈α¬iden␈α}tity␈α¬(␈α↓1␈ε↔␈α␈␈␈↓ λ∨␈ε	p␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λ=␈εβ)␈↓ λw␈εβ=␈↓ 	z␈εβ(1␈ε↔␈␈↓ 
7␈ε	z␈↓ 
U␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈βλQ␈↓ π␈ε
n␈↓ ⊗␈ε
p
␈βλb␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈ε~∃␈εε1
␈βλw␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αlog␈α␈arithm␈α␈s,␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αrewritten
␈β	~␈↓ βB␈ε↓P␈↓ ¬G␈ε↓P
␈β	4␈↓ ∧]␈εj␈↓ εq␈εk␈↓ ε}␈εj
␈β	5␈↓ πz␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β	8␈↓ ∧ ␈ε	G␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	z␈↓ ∧i␈εβ)/␈↓ ¬∧␈ε	j␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ε9␈ε	a␈↓ εc␈ε	z␈↓ π
␈εβ/␈↓ π≠␈ε	j␈↓ π3␈εβ=␈↓ π↑␈εβln␈↓ λε␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λs␈ε	p␈↓ 	∧␈ε	z␈↓ 	⊃␈εβ)␈↓ 	)␈εβ.
␈β	B␈↓ ∧6␈εp␈↓ εH␈εk␈↓ εV␈εp
␈β	J␈↓ βh␈εj␈↓ βt␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬z␈εε,␈↓ ε↓␈εj␈↓ ε
␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β	b␈↓ π∞␈ε↓P
␈β	|␈↓ λY␈ε~␈␈εε1␈↓ 
*␈εm
␈β	⎇␈↓ 	 ␈εα(␈↓ 
L␈εα)
␈β
␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αεsta␈α␈ted␈α¬iden␈α}tity␈α¬no␈α␈w␈α¬yields␈α¬the␈α¬an␈α␈sw␈α␈er␈↓ ε∩␈ε	G␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	z␈↓ εO␈εβ)␈α	=␈↓ πv␈ε	⊗␈↓ λλ␈εβ(␈↓ λ∀␈ε	m␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	m␈↓ 	¬␈εβln␈↓ 	,␈εβ1/(1␈ε↔␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
A␈εβ)␈↓ 
X␈εβ,␈απfrom
␈β
␈↓ ε(␈εp
␈β
∂␈↓ ∧(␈ε↓P
␈β
∪␈↓ π4␈εm␈↓ πK␈ε~∃␈εε1
␈β
)␈↓ ¬r␈ε~␈␈εε1␈↓ ε)␈εd␈↓ λ[␈εn
␈β
-␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈↓ βC␈ε	a␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧␈␈ε	⊗␈↓ ¬⊃␈εβ(␈↓ ¬≤␈ε	n␈↓ ¬0␈εβ/␈↓ ¬A␈ε	d␈↓ ¬S␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε	n␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε8␈εβ;␈αth␈α␈u␈α␈s␈↓ π↔␈εβl␈α↓im␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε	p␈↓ λv␈εβ=␈α1␈α␈/␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ.␈α∞To␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αthe
␈β
8␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈εp␈↓ πF␈εp␈↓ πS␈ε~!␈α↓1␈↓ λ≠␈εn␈↓ λ+␈εp
␈β
>␈↓ ∧I␈ε↓P␈↓ πj␈ε↓P␈↓ 	d␈ε↓P
␈β
@␈↓ ∧N␈εd␈↓ ∧\␈ε~∧␈↓ ∧i␈εn
␈β
X␈↓ ε#␈εn␈↓ ε3␈εj␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εt␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εt␈↓ λ|␈εm␈↓ 	;␈ε~␈␈↓ 	T␈εt
␈β
\␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈ted␈αid␈α␈en␈α␈tity␈α␈,␈α
no␈α␈te␈αthat␈↓ ¬=␈ε	⊗␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ¬z␈ε	g␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	z␈↓ ε?␈εβ)␈↓ εJ␈ε	n␈↓ π↓␈ε	j␈↓ π>␈εβ=␈↓ λS␈ε	g␈↓ λc␈εβ(␈↓ λn␈ε	z␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 
C␈ε	⊗␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	n␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β
o␈↓ ∧o␈εn␈↓ ∧␈␈εε,␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ¬∩␈ε~∃␈εε1␈↓ λ⊂␈εm␈↓ λ(␈ε~∃␈εε1␈↓ 

␈εn␈↓ 
~␈ε~∧␈↓ 
'␈εm
␈β	␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ).
␈β:␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	a␈↓ βπ␈εβbe␈αλt␈α␈he␈αλn␈α}um␈α}ber␈απof␈αλmo␈α␈nic␈αλp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈απof␈αλd␈α␈egree␈↓ λ≠␈ε	n␈↓ λ7␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	*␈ε	p␈↓ 	C␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ ≡␈ε	r
␈βC␈↓ ¬X␈ε↓P␈↓ λ=␈ε↓P
␈βD␈↓ αU␈εn␈↓ αf␈εp␈↓ αs␈εr
␈β]␈↓ π∀␈εn␈↓ π>␈εr␈↓ 	Y␈εk␈↓ 

␈εk
␈β↑␈↓ λ1␈εα(␈↓ 
8␈εα)
␈βa␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α
fac␈α␈tors.␈αTh␈α␈en␈↓ ∧6␈ε↔G␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬␈ε	w␈↓ ¬→␈εβ)␈α	=␈↓ εM␈ε	a␈↓ ππ␈ε	z␈↓ π%␈ε	w␈↓ πS␈εβ=␈↓ π}␈εβe␈α␈xp␈↓ 	≤␈ε	G␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	z␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 	q␈ε	w␈↓ 
↔␈εβ/␈↓ 
(␈ε	k␈↓ 
D␈εβ,␈α
where
␈βl␈↓ ∧K␈εp␈↓ ε\␈εn␈↓ εm␈εp␈↓ εz␈εr␈↓ 	2␈εp
␈βt␈↓ ¬}␈εn␈↓ ε∞␈εε,␈↓ ε∃␈εr␈↓ ε!␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ λc␈εk␈↓ λq␈ε~∃␈εε1
␈β	␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓w␈εβis␈αthe␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
4;␈αcf.␈αEq.␈α1.2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑34␈α␈.␈αWe␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∀␈↓ ↓↑␈εp
␈β+␈↓ ↓d␈ε↓P␈↓ ε.␈ε↓P
␈βE␈↓ βπ␈εn␈↓ πJ␈εk␈↓ πx␈εk
␈βF␈↓ ε"␈εα(␈↓ λ⊃␈εα)␈↓ λV␈εα(␈↓ 
~␈εα)
␈βI␈↓ αF␈ε	A␈↓ αy␈ε	z␈↓ β!␈εβ=␈↓ βK␈ε	d␈↓ β↑␈ε↔G␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	z␈↓ ∧→␈εβ/␈↓ ∧)␈ε	p␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧I␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ)/␈↓ ∧}␈ε	d␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬+␈ε↔j␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π
␈ε	G␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πW␈εβ/␈↓ πg␈ε	p␈↓ λε␈εβ)␈↓ λ"␈εβexp␈↓ λb␈εβln␈↓ λ}␈εβ(1/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	v␈ε	z␈↓ 
∧␈εβ))
␈βT␈↓ α[␈εn␈↓ αk␈εp␈↓ βr␈εp␈↓ ¬5␈εw␈↓ ¬I␈εε=1␈↓ π#␈εp
␈β\␈↓ α
␈εn␈↓ α~␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ εT␈εk␈↓ εa␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βa␈↓ ε.␈ε↓P
␈β{␈↓ λ6␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ[␈εn␈↓ λz␈εn
␈β|␈↓ ε"␈εα(␈↓ π,␈εα(␈↓ 	∃␈εα)␈↓ 
¬␈εα)
␈β␈␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π⊂␈εβln␈↓ π8␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ%␈ε	p␈↓ λl␈ε	z␈↓ 	
␈εβ)␈↓ 	!␈ε	⎇␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	n␈↓ 	U␈εβ)␈α↓/␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
⊃␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
n␈ε	z␈↓ 
|␈εβ),
␈β
∩␈↓ εT␈εn␈↓ εd␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β
B␈↓ ¬¬␈ε~␈␈εε2␈↓ 	-␈εr
␈β
F␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α$␈ε	A␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε	H␈↓ β7␈εβ+␈απ1/2␈↓ ∧⊃␈ε	p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧Q␈ε	O␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬+␈εβ)␈αfo␈α␈r␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ε⊃␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ 	≤␈εβ2␈↓ 	C␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
coe␈α␈}cien␈α}t
␈β
Q␈↓ α9␈εn␈↓ αI␈εp␈↓ β ␈εn
␈β
j␈↓ ↓|␈εn␈↓ π>␈ε~␈␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈β
n␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	z␈↓ α↔␈εβin␈↓ α=␈ε↔G␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	z␈↓ αx␈εβ/␈↓ β	␈ε	p␈↓ β~␈εβ,␈αε2␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ ∧M␈ε	n␈↓ ∧h␈εβ+␈απ1␈αε+␈αλ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬v␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈↓ εJ␈ε	p␈↓ εb␈εβ+␈↓ π
␈ε	O␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	p␈↓ πd␈εβ).␈α→(Th␈α␈e␈αv␈α␈arian␈α␈ce␈αis␈αo␈α␈f␈αord␈α␈er␈↓ β␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β
x␈↓ αR␈εp
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er:␈αset␈↓ β¬␈ε	w␈↓ β'␈εβ=␈α
4␈α␈.␈α↓)
␈β∞B␈↓ ε5␈εp
␈β∞F␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβFor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β∀␈ε	s␈↓ β,␈εβ<␈↓ βY␈ε	p␈↓ βj␈εβ,␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧B␈ε	s␈↓ ∧\␈εβis␈αa␈αfact␈α␈or␈αof␈↓ ε$␈ε	x␈↓ εK␈ε↔␈␈↓ εu␈ε	x␈↓ π∩␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λ∃␈ε	p␈↓ λ&␈εβ)␈αb␈α␈y␈αFerma␈α␈t's␈α
t␈α␈heo␈α␈rem.␈α∞So
␈β∞f␈↓ λP␈εp
␈β∞j␈↓ ↓Y␈εp
␈β∞k␈↓ ∧M␈εα(␈↓ π␈␈εα)␈↓ 	␈εα(
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓n␈ε↔␈␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α3␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ ∧→␈εβlcm␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈απ0,␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε~␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εG␈εβ,␈↓ εV␈ε	x␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ π"␈ε	p␈↓ π:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ λ∀␈εβ=␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ.␈↓ 	␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αthe
␈β∞t␈↓ βE␈ε↓α␈↓ β←␈ε↓β
␈β∞⎇␈↓ λP␈∧∞⎇λPα∞
␈β∂∞␈↓ βQ␈εp
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tirl␈α↓in␈α␈g␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ βx␈εβa␈α␈re␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓es␈αo␈α␈f␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ εε␈εβex␈α}cep␈α␈t␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ πH␈ε	k␈↓ πc␈εβ=␈α1,␈↓ λ6␈ε	k␈↓ λQ␈εβ=␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	∂␈εβ.␈α∞E␈α↓q␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α1.2.6␈α␈↑41
␈β∂"␈↓ λ:␈ε↓λ␈↓ λZ␈ε↓␈	
␈β∂&␈↓ βR␈εk
␈β∂=␈↓ λL␈εp
␈β∂A␈↓ 
x␈εα)
␈β∂D␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈at␈αthe␈α
same␈αsta␈α␈temen␈α}t␈αis␈αvalid␈αfo␈α␈r␈αStirli␈α↓n␈α␈g␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ λw␈εβof␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αkin␈α␈d.
␈β∂T␈↓ λL␈εk
␈β∂u␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α	facto␈α␈rs␈α
o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
r␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
a␈α␈re␈α
re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α	prime,␈α
a␈α␈nd␈α	eac␈α␈h␈α
is␈α	a␈α
d␈α␈ivisor␈α	of␈↓ 	r␈ε	u␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
"␈εβ)␈α↓,␈α
so␈α	th␈α␈eir
␈β⊂≤␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ β4␈ε	u␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	x␈↓ βe␈εβ).␈αOn␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αha␈α␈nd␈α␈,
␈β⊂@␈↓ π;␈ε↓Q
␈β⊂Z␈↓ ε⊃␈εp
␈β⊂[␈↓ λ6␈εα(␈↓ 	8␈εα)
␈β⊂↑␈↓ β&␈ε	u␈↓ β:␈εβ(␈↓ βF␈ε	x␈↓ βW␈εβ)␈↓ ∧*␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬X␈ε	v␈↓ ¬i␈εβ(␈↓ ¬t␈ε	x␈↓ εε␈εβ)␈↓ ε&␈ε↔␈␈↓ εO␈ε	v␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε	x␈↓ ε⎇␈εβ)␈α	=␈↓ λB␈ε	v␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	x␈↓ λo␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	+␈ε	s␈↓ 	D␈εβ,
␈β⊂p␈↓ π]␈εε0␈ε~∀␈↓ λβ␈εs␈↓ λ∂␈εε<␈↓ λ(␈εp
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβso␈α
i␈α↓t␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αthe␈αrigh␈α}t-ha␈α␈nd␈αsid␈α␈e␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.5.2↑␈α␈2.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα8␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈α
v␈α␈ecto␈α␈r␈α(18)␈αis␈αthe␈αo␈α␈nly␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αwh␈α␈ose␈↓ εl␈ε	k␈↓ ε|␈εβth␈αc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αis␈αno␈α␈nze␈α␈ro.
␈βαk␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβFor␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩s␈α␈tart␈α⊂with␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬*␈ε↔ ␈εβ␈α∩1,␈↓ ελ␈ε	y␈↓ ε,␈ε↔ ␈εβ␈α∩1;␈α∩the␈α␈n␈α⊂rep␈α␈eate␈α␈dly␈α⊂se␈α␈t␈ε	␈α⊂R␈εβ[␈↓ 	]␈ε	x␈↓ 	n␈εβ]␈ε↔␈α∩ ␈↓ 
;␈ε	y␈↓ 
N␈εβ,␈↓ 
h␈ε	x␈↓ ␈ε↔ 
␈ββ∪␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓o␈εβmod␈↓ α4␈εβ1␈α␈01,␈↓ αz␈ε	y␈↓ β⊗␈ε↔ ␈εβ␈α	51␈↓ βb␈ε	y␈↓ βz␈εβm␈α␈od␈↓ ∧>␈εβ10␈α␈1,␈αon␈α␈e␈αh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈αtimes␈α␈.
␈ββO␈↓ 
b␈εε[1␈α␈]
␈ββS␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβThe␈α∞ma␈α␈trix␈↓ βD␈ε	Q␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧⊃␈ε	I␈↓ ∧.␈εβbelo␈α␈w␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞n␈α}ull␈α∂sp␈α␈ace␈α∞g␈α␈enera␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞v␈α␈ec␈α␈tors␈↓ 
P␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈ββw␈↓ βp␈εε[2]
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε0),␈↓ β←␈ε	v␈↓ ∧∀␈εβ=␈α
(0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1).␈αThe␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis
␈β∧O␈↓ ∧M␈εε6␈↓ ¬≠␈εε5␈↓ ¬j␈εε4␈↓ π ␈εε2
␈β∧U␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬}␈εβ+␈↓ ε&␈ε	x␈↓ ε?␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π4␈εβ+␈↓ π]␈ε	x␈↓ πu␈εβ+␈αλ1).
␈β¬*␈↓ βL␈ε	p␈↓ βf␈εβ=␈α	2
␈β¬/␈↓ λn␈ε	p␈↓ 	λ␈εβ=␈α
5
␈β¬B␈↓ α∪␈ε↓0␈↓ ¬A␈ε↓1
␈β¬G␈↓ πQ␈ε↓0␈↓ 
I␈ε↓1
␈β¬↑␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β¬l␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ0␈↓ 
3␈εβ0
␈βεβ␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε¬␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βελ␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε∀␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ4␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ1␈↓ 
3␈εβ0
␈βε_␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε≡␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε-␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βε.␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε3␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε;␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ4
␈βεD␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βεI␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βεU␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈βεY␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε←␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βεc␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ1␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ4␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈βεo␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βεt␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε|␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈βπ∧␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βπ
␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βπ␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ3␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈βπ~␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βπ∨␈↓ πQ␈ε↓@␈↓ 
I␈ε↓A
␈βπ$␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βπ0␈↓ α∪␈ε↓@␈↓ ¬A␈ε↓A
␈βπ2␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ1␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈βπK␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈βπZ␈↓ πo␈εβ3␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ1␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈βπs␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈βλ(␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβRemo␈α}ving␈α
th␈α␈e␈αtrivial␈αfa␈α␈ctor␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬7␈εβ,␈αth␈α␈e␈αma␈α␈trix␈↓ εq␈ε	Q␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ π8␈ε	I␈↓ πR␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αh␈α␈as␈αa␈α
n␈α␈u␈α␈ll␈αspa␈α␈ce␈αg␈α␈enera␈α␈ted
␈βλO␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈)␈αand␈α
(0,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬2,␈αε1).␈αThe␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αis
␈β	#␈↓ ∧⊗␈εε2␈↓ ¬]␈εε5␈↓ ε<␈εε4␈↓ π
␈εε3␈↓ πi␈εε2
␈β	)␈↓ βh␈ε	x␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧*␈εβ+␈αλ3␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ+␈αλ4)(␈↓ ¬L␈ε	x␈↓ ¬q␈εβ+␈αλ2␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εP␈εβ+␈↓ εy␈ε	x␈↓ π≡␈εβ+␈αλ4␈↓ πW␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ>␈εβ+␈αλ3␈α␈)␈α↓.
␈β
_␈↓ β}␈εε4␈↓ ∧P␈εε4
␈β
≤␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	p␈↓ αG␈εβ=␈α
2␈α␈,␈α(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β:␈εβ+␈απ1␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧∀␈εβ=␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧c␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αIf␈↓ ¬R␈ε	p␈↓ ¬l␈εβ=␈α	8␈↓ ε'␈ε	k␈↓ ε>␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π+␈ε↔␈␈↓ πS␈ε	I␈↓ πm␈εβis␈αth␈α␈e␈αz␈α␈ero␈αm␈α␈atrix,␈αso␈α
the␈α␈re␈αare
␈β
D␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈ur␈αfac␈α␈tors.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αoth␈α␈er␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ¬'␈ε	p␈↓ ¬C␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β↔␈↓ ∧↓␈ε	p␈↓ ∧≠␈εβ=␈α
8␈↓ ∧V␈ε	k␈↓ ∧n␈εβ+␈αλ3␈↓ ε,␈ε	p␈↓ εF␈εβ=␈α
8␈↓ πα␈ε	k␈↓ π→␈εβ+␈αλ5␈↓ λW␈ε	p␈↓ λr␈εβ=␈α	8␈↓ 	-␈ε	k␈↓ 	E␈εβ+␈απ7
␈β/␈↓ βB␈ε↓0␈↓ ¬N␈ε↓1␈↓ ¬n␈ε↓0␈↓ πy␈ε↓1␈↓ λ→␈ε↓0␈↓ 
$␈ε↓1
␈βO␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 
∞␈εβ0
␈βp␈↓ βB␈ε↓B␈↓ ¬N␈ε↓C␈↓ ¬n␈ε↓B␈↓ πy␈ε↓C␈↓ λ→␈ε↓B␈↓ 
$␈ε↓C
␈βv␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧π␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ ε2␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈βε␈↓ βB␈ε↓@␈↓ ¬N␈ε↓A␈↓ ¬n␈ε↓@␈↓ πy␈ε↓A␈↓ λ→␈ε↓@␈↓ 
$␈ε↓A
␈β∂␈↓ α4␈ε	Q␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ α|␈ε	I␈↓ β∀␈εβ=
␈β≡␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	%␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 
∞␈εβ0
␈βE␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬↔␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πB␈ε↔␈␈εβ2␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈β
↔␈↓ 
h␈εε4
␈β
_␈↓ πI␈εα(
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α∩␈ε	Q␈↓ α-␈ε↔␈␈↓ αQ␈ε	I␈↓ αh␈εβha␈α␈s␈αλran␈α␈k␈απ2,␈α	so␈απthe␈α␈re␈αλar␈α␈e␈αλ4␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈αβ2␈α	=␈α	2␈αλfac␈α␈tors.␈↓ πU␈εβBut␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απeasy␈απto␈απpro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
x␈εβ+␈αβ1
␈β
C␈↓ ↓H␈εβis␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αsince␈αit␈αh␈α␈as␈αno␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈αfac␈α␈tors␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈αof␈↓ 
t␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β
k␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈αλfac␈α␈tor␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈α	less␈αλth␈α␈an␈αλor␈αλequ␈α␈al␈α	t␈α␈o␈α	2␈αλin␈αλab␈α␈solut␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλb␈α␈y␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ20␈α␈.
␈β∞∞␈↓ 
%␈εk
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ α/␈ε	k␈↓ αI␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈α	H.␈α	P.␈α	F.␈α	S␈α␈wi␈α↓n␈α␈ne␈α␈rton␈α␈-␈α↓D␈α␈y␈α␈er␈αλha␈α␈s␈α	e␈α␈xh␈α␈i␈α↓b␈α␈ited␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλof␈αλdeg␈α␈ree␈↓ 
∀␈εβ2␈↓ 
;␈εβth␈α␈at␈αλare
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α	the␈α	in␈α␈te␈α␈gers,␈α	bu␈α␈t␈α	they␈αλsplit␈α	comp␈α␈letely␈α	in␈α}to␈α	li␈α↓n␈α␈ear␈α	a␈α␈nd␈αλqua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αλfactor␈α␈s
␈β∞]␈↓ πK␈εε8␈↓ λ=␈εε6␈↓ 	/␈εε4␈↓ 
2␈εε2
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
ev␈α}ery␈α
p␈α␈rime.␈α⊃F␈α↓o␈α␈r␈α
deg␈α␈ree␈α
8␈α␈,␈α∞his␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈αi␈α↓s␈↓ π:␈ε	x␈↓ π`␈ε↔␈␈εβ␈α	16␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λR␈εβ+␈α
8␈α␈8␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	E␈εβ+␈α	1␈α␈92␈↓ 
!␈ε	x␈↓ 
G␈εβ+␈α	144␈α␈,
␈β∂β␈↓ βJ␈∧∂ββJα⊃␈↓ ∧+␈∧∂β∧+α⊃
␈β∂∧␈↓ β(␈ε↔p␈↓ ∧	␈ε↔p
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
roots␈ε↔␈α
ε␈↓ βJ␈εβ2␈↓ βa␈ε↔ε␈↓ ∧+␈εβ3␈↓ ∧B␈ε↔ε␈↓ ∧j␈ε	i␈↓ ¬α␈εβ[see␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th.␈αCo␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α24␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α73␈α␈3↑7␈α␈34].␈αAcco␈α␈rding␈α
to␈α
the
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈em␈α	of␈αλF␈α↓ro␈α␈ben␈α␈ius␈α	c␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈α	in␈αλex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α	33␈α␈,␈α
an␈α}y␈α	irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α	p␈α␈olyn␈α␈omial␈α	o␈α␈f␈α	deg␈α␈ree␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
U␈εβw␈α↓h␈α␈ose
␈β∂U␈↓ 
/␈εα)
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβGa␈α␈lois␈αgrou␈α␈p␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αno␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧P␈εβ-␈α↓c␈α␈y␈α␈cles␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈αfacto␈α␈rs␈αmod␈α␈ulo␈αalmo␈α␈st␈αall␈αprimes.
␈β⊂_␈↓ ∧s␈∧⊂_∧sα2␈↓ ¬b␈∧⊂_¬bα⊃␈↓ π9␈∧⊂_π9α2␈↓ λ(␈∧⊂_λ(α⊃␈↓ 	␈␈∧⊂_	␈α2␈↓ 
n␈∧⊂_
nα⊃
␈β⊂→␈↓ ∧R␈ε↔p␈↓ ¬A␈ε↔p␈↓ π_␈ε↔p␈↓ λπ␈ε↔p␈↓ 	↑␈ε↔p␈↓ 
M␈ε↔p
␈β⊂≠␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬s␈εα)␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈εα(␈↓ 
␈␈εα)
␈β⊂≡␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	p␈↓ α&␈εβ=␈α
8␈↓ αa␈ε	k␈↓ αs␈εβ+␈αα1␈α␈:␈↓ βD␈ε	x␈↓ β]␈εβ+␈αλ(1␈απ+␈↓ ∧s␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬%␈εβ)/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε#␈εβ+␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πk␈εβ)/␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λQ␈ε	x␈↓ λj␈ε↔␈␈εβ␈απ(1␈απ+␈↓ 	␈␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 
1␈εβ)␈α↓/␈↓ 
n␈εβ2␈↓ ␈ε↔α
␈β⊂E␈↓ βα␈∧⊂Eβαα2␈↓ βq␈∧⊂Eβqα⊃␈↓ εR␈∧⊂EεRα2␈↓ λ]␈∧⊂Eλ]α2
␈β⊂F␈↓ αa␈ε↔p␈↓ βP␈ε↔p␈↓ ε0␈ε↔p␈↓ λ<␈ε↔p
␈β⊂G␈↓ ¬t␈εε2␈↓ π␈␈εε2
␈β⊂H␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧α␈εα)␈↓ ¬V␈εα(␈↓ πV␈εα)␈↓ πb␈εα(␈↓ 	a␈εα)
␈β⊂K␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓l␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βα␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ β4␈εβ)/␈↓ βq␈εβ2␈↓ ∧∞␈εβ.␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧A␈εβ=␈α
8␈↓ ∧|␈ε	k␈↓ ¬∂␈εβ+␈αβ3:␈↓ ¬b␈ε	x␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ εR␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π∧␈ε	x␈↓ π≤␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πn␈ε	x␈↓ λ∪␈ε↔␈␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	(␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	m␈εβ.␈↓ 
ε␈ε	p␈↓ 
!␈εβ=␈α	8␈↓ 
\␈ε	k␈↓ 
o␈εβ+␈αβ5␈α␈:
␈β⊂q␈↓ αC␈∧⊂qαCα2␈↓ β|␈∧⊂qβ|α2␈↓ π#␈∧⊂qπ#α⊃␈↓ 	∞␈∧⊂q	∞α⊃
␈β⊂s␈↓ ↓e␈εε2␈↓ α"␈ε↔p␈↓ β≡␈εε2␈↓ β[␈ε↔p␈↓ εE␈εε2␈↓ πα␈ε↔p␈↓ λ0␈εε2␈↓ λl␈ε↔p
␈β⊂t␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αu␈εα)␈↓ β↓␈εα(␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ε(␈εα(␈↓ λε␈εα)␈↓ λ∩␈εα(␈↓ 	p␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ αC␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β
␈ε	x␈↓ β2␈ε↔␈␈↓ β|␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧:␈εβ.␈↓ ∧`␈ε	p␈↓ ∧}␈εβ=␈α
8␈↓ ¬<␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ+␈α	7:␈↓ ε4␈ε	x␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ π#␈εβ2␈↓ π4␈ε	x␈↓ πM␈εβ+␈αλ1␈↓ λ≡␈ε	x␈↓ λD␈εβ+␈↓ 	∞␈εβ2␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	7␈εβ+␈αλ1␈↓ 	|␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
latte␈α␈r
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αalso␈α
hold␈α␈s␈αo␈α␈v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|␈α␈eld␈αof␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ ~␈εα9
␈βα&␈↓ ∧d␈εε(␈↓ ∧l␈εp␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 

␈εε(␈↓ 
∪␈εp␈↓ 
!␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈αεg␈α␈cd␈αεis␈αε1␈αεwh␈α␈en␈αε(␈↓ ∧∀␈ε	s␈↓ ∧+␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	t␈↓ ∧Y␈εβ)␈↓ ¬K␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈αεor␈ε↔␈αε␈␈εβ1␈αεfor␈αεall␈↓ π@␈ε	i␈↓ πM␈εβ;␈αλit␈απis␈↓ λ↔␈ε	w␈↓ λ0␈εβ(␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λL␈εβ)␈αεw␈α↓h␈α␈en␈α¬(␈↓ 	;␈ε	s␈↓ 	Q␈εβ+␈↓ 	s␈ε	t␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈βα5␈↓ ∧∨␈εi␈↓ 	F␈εi
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	all␈↓ α%␈ε	i␈↓ α2␈εβ.␈α
To␈α	g␈α␈et␈α	a␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈αλbou␈α␈nd␈αλo␈α␈n␈↓ ¬)␈ε	P␈↓ ¬@␈εβ,␈α
let␈↓ ε␈ε	k␈↓ ε~␈εβ=␈α	2.␈αTh␈α␈e␈α	\␈α␈ba␈α␈d"␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλof␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	&␈εβsatisfy␈↓ 

␈ε	t␈↓ 
#␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ 
n␈ε	s␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈βα\␈↓ 
z␈εε1
␈βαu␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εp␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1)/2
␈βαv␈↓ αq␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ α)␈ε	s␈↓ αJ␈εβor␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	s␈↓ β%␈εβ+␈↓ βL␈ε	t␈↓ βX␈εβ)/(␈↓ β␈␈ε	s␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ¬M␈ε↔⊃␈εβ␈α	1.␈αFu␈α␈rtherm␈α␈ore␈α	(␈↓ πi␈ε	s␈↓ λπ␈εβ+␈↓ λ-␈ε	t␈↓ λ9␈εβ)/(␈↓ λ`␈ε	s␈↓ λ⎇␈εβ+␈↓ 	$␈ε	t␈↓ 	0␈εβ)␈α	run␈α␈s␈α
th␈α␈roug␈α␈h␈α	all
␈ββ∧␈↓ α4␈εε2␈↓ β∪␈εε1␈↓ ∧
␈εε2␈↓ πt␈εε1␈↓ λk␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αex␈α}cept␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
1␈αa␈α␈s␈↓ ∧5␈ε	t␈↓ ∧L␈εβru␈α␈ns␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α
all␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αo␈α␈ther␈α
tha␈α␈n␈ε↔␈α␈␈↓ λl␈ε	s␈↓ 	∂␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
␈␈↓ 	p␈ε	s␈↓ 
λ␈εβ,␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈ββ,␈↓ λw␈εε1␈↓ 	{␈εε2
␈ββF␈↓ λα␈εα(
␈ββI␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αt␈α␈here␈αare␈αa␈α␈t␈αmost␈α2␈απ+␈αλ(␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬~␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)/2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ1␈αbad␈αva␈α␈lues.␈↓ λ∞␈εβIf␈↓ λ0␈ε	t␈↓ λF␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 	∪␈ε	s␈↓ 	7␈εβan␈α␈d␈↓ 	y␈ε	t␈↓ 
∂␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 
\␈ε	s␈↓ ␈εβare
␈ββS␈↓ 	∨␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈ββl␈↓ βs␈εε(␈↓ β|␈εp␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈ββm␈↓ 
a␈εα)
␈ββp␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
ba␈α␈d,␈αthen␈α
(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ βh␈εβ)␈↓ ∧Z␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈;␈αth␈α}us␈↓ ¬s␈ε	P␈↓ ε∀␈ε↔∃␈εβ␈α	1/2␈απ+␈απ1/(2␈↓ π]␈ε	p␈↓ πn␈εβ)␈αwh␈α␈en␈↓ λ[␈ε	p␈↓ λv␈ε↔⊃␈εβ␈α	3␈α	(mod␈α␈ulo␈α4␈α␈).
␈β∧_␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIt␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
with␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
>␈α
1␈ε↔␈αε␈␈↓ π)␈ε	∂␈↓ π@␈εβw␈α␈e␈α
w␈α↓ill␈α|␈α␈nd␈α	a␈α
roo␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ 	w␈ε	w␈↓ 
∂␈εβ(␈↓ 
~␈ε	x␈↓ 
,␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo
␈β∧;␈↓ ∧,␈εε2␈↓ ¬⊂␈εε3␈↓ ¬b␈εε3␈↓ εE␈εε2
␈β∧<␈↓ α)␈εα(␈↓ ε]␈εα)␈↓ λb␈εα(
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓g␈εβin␈↓ α⊃␈ε	O␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈εβlog␈↓ αk␈εβ(1/␈↓ β↔␈ε	∂␈↓ β$␈εβ))(␈↓ βE␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βv␈ε	k␈↓ ∧ε␈εβ)(␈↓ ∧≤␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε	p␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εR␈εβ)␈↓ εx␈εβu␈α␈nits␈α∞of␈α∞time.␈↓ λn␈εβTh␈α␈e␈α∞f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ 
→␈εβlog␈↓ 
C␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ 
p␈ε	∂␈↓ 
⎇␈εβ)␈α∞is
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∂o␈α␈f␈α∂ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈α∂trials␈α∞ne␈α␈ede␈α␈d␈α∞per␈α∞red␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α∂while␈↓ λk␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	:␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∞max␈α␈im␈α␈um
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈α	re␈α␈du␈α␈ction␈α␈s,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈απi␈α↓s␈αλa␈α␈t␈αλw␈α␈orst␈αλh␈α␈alv␈α␈ed␈απwhen␈απa␈αλn␈α␈on␈α}tri␈α↓v␈α␈ial␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β¬2␈↓ αd␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ πV␈εε(␈↓ π↑␈εp␈↓ πl␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 
<␈εε3␈↓  ␈εε2
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβis␈αfou␈α␈nd␈α␈;␈↓ αT␈ε	k␈↓ αp␈εβ(␈↓ α|␈εβlo␈α␈g␈↓ β,␈ε	p␈↓ β=␈εβ)␈↓ βa␈εβu␈α␈nits␈αof␈αtime␈αwil␈α↓l␈αev␈α␈aluat␈α␈e␈α
(␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π?␈ε	t␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ9␈εβmo␈α␈d␈↓ λ⎇␈ε	w␈↓ 	⊗␈εβ(␈↓ 	!␈ε	x␈↓ 	3␈εβ),␈α
wh␈α␈il␈α↓e␈↓ 
,␈ε	k␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈εβlog␈↓ ∧␈ε	p␈↓ ∃␈εβ)
␈β¬[␈↓ ∧Q␈εα)
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αgcd␈α␈.␈↓ ∧w␈εβOn␈αthe␈αot␈α␈her␈αha␈α␈nd␈α␈,␈αthe␈αtru␈α␈e␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αis␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
bette␈α␈r
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈απth␈α␈ese␈αλ\␈α␈wo␈α␈rst-case␈α␈"␈αλest␈α␈i␈α↓m␈α␈ates.␈α
Su␈α␈pp␈α␈ose␈απtha␈α␈t␈αλea␈α␈ch␈αλline␈α␈ar␈αλfa␈α␈ctor␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∩␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	s␈↓ 	T␈εβh␈α␈as␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε⊂␈↓ 	A␈εi
␈βε)␈↓ β}␈εε(␈↓ ∧ε␈εp␈↓ ∧∀␈ε~␈␈εε1)/2
␈βε*␈↓ ↓K␈εε1
␈βε-␈↓ ↓i␈εβof␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈↓ βg␈ε	t␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧e␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞ea␈α␈ch␈↓ ε2␈ε	t␈↓ ε>␈εβ,␈α∂ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞b␈α␈eha␈α␈vior␈α
for␈α∞o␈α␈ther␈↓ ∃␈ε	s
␈βε8␈↓  ␈εj
␈βε;␈↓ ↓K␈∧ε;↓Kα
␈βε=␈↓ ↓K␈εε2
␈βεU␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	t␈↓ α∀␈εβ.␈αThe␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αen␈α␈cod␈α␈e␈αeac␈α␈h␈↓ ¬
␈ε	s␈↓ ¬+␈εβby␈α
a␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈α0's␈αan␈α␈d␈α1's␈αacc␈α␈ordin␈α␈g␈αas␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
$␈ε↔␈␈↓ 
M␈ε	s␈↓ 
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈βε←␈↓ ¬∃␈εi␈↓ 
X␈εi
␈βεx␈↓ ∧6␈εε(␈↓ ∧>␈εp␈↓ ∧L␈ε~␈␈εε1)/2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α∞d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
divid␈α␈e␈α∞(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	t␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ¬≥␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞the␈α
suc␈α␈cessiv␈α␈e␈↓ πu␈ε	t␈↓ λ↓␈εβ's␈α∞tried␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈btain␈α
a␈α
rand␈α␈om
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈αtrie␈αwith␈↓ β:␈ε	k␈↓ βU␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈α(cf.␈αSe␈α␈ction␈α
6.3).␈αT␈α↓h␈α␈e␈αco␈α␈st␈αasso␈α␈ciated␈α
wi␈α↓th␈α
an␈α
i␈α↓n␈α}tern␈α␈al␈αno␈α␈de␈αo␈α␈f
␈βπG␈↓ π␈εε2␈↓ πd␈εε3␈↓ λ5␈εε3␈↓ 	→␈εε2
␈βπH␈↓ εb␈εα(␈↓ 	&␈εα)
␈βπK␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
trie,␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ β@␈ε	d␈↓ β←␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈αas␈αde␈α␈scend␈α␈an␈α}ts,␈α
is␈↓ εJ␈ε	O␈↓ εn␈ε	d␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈εβlog␈↓ πH␈ε	p␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε	d␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈εβlog␈↓ λ⎇␈ε	p␈↓ 	∞␈εβ)␈↓ 	2␈εβ.␈α∂Th␈α␈e␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αto
␈βπQ␈↓ ∧⊃␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ¬h␈ε↓␈␈↓ εε␈ε↓↓␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ πI␈ε↓↓␈↓ 	↓␈ε↓␈␈↓ 	∨␈ε↓↓␈↓ 
w␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓↓
␈βπU␈↓ ¬<␈ε↓P␈↓ λU␈ε↓P
␈βπk␈↓ ∧∨␈εn␈↓ ¬v␈εn␈↓ π8␈εn␈↓ 	∂␈εn␈↓ ¬␈εn
␈βπo␈↓ ¬↓␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬&␈εn␈↓ λ~␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ?␈εn
␈βπs␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈curre␈α␈nces␈↓ β2␈ε	A␈↓ βd␈εβ=␈↓ ∧F␈εβ+␈↓ ∧p␈εβ2␈↓ ε∀␈ε	A␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εM␈ε	B␈↓ ε⎇␈εβ=␈↓ π←␈εβ+␈↓ λ	␈εβ2␈↓ 	-␈ε	B␈↓ 	N␈εβ,␈α
is␈↓ 
π␈ε	A␈↓ 
9␈εβ=␈α2␈↓ #␈εβ,
␈βπ}␈↓ βH␈εn␈↓ ε)␈εk␈↓ εa␈εn␈↓ 	A␈εk␈↓ 
≤␈εn
␈βλ␈↓ α:␈ε↓␈␈↓ αX␈ε↓↓
␈βλβ␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ¬w␈εk␈↓ π:␈εε3␈↓ 	⊂␈εk␈↓ π␈εε2
␈βλ~␈↓ αH␈εn
␈βλ≡␈↓ α)␈εε4
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ αf␈εβ,␈α∞b␈α␈y␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5.2.2↑3␈α␈6.␈α⊃Hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
sum␈αof␈α
cos␈α␈ts␈α
i␈α↓n␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αran␈α␈do␈α␈m␈α
trie←
␈βλ,␈↓ ↓[␈εn
␈βλ0␈↓ α)␈∧λ0α)α
␈βλ2␈↓ α)␈εε3␈↓ αI␈εε3
␈βλJ␈↓ πg␈εε2␈↓ λK␈εε3␈↓ 	∀␈εε3␈↓ 	x␈εε2
␈βλK␈↓ πK␈εα(␈↓ 
∧␈εα)
␈βλN␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈α	th␈α␈e␈α
time␈α	to␈α	f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬#␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ)␈ε⊂␈α
com␈α␈pletely␈εβ␈α␈←␈α↓is␈↓ π2␈ε	O␈↓ πW␈ε	k␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈εβlog␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λ@␈εβ)␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	k␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	,␈εβlo␈α␈g␈↓ 	\␈ε	p␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 
~␈εβu␈α␈nd␈α␈er␈α
th␈α␈is
␈βλu␈↓ ↓H␈εβp␈α␈laus␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αassu␈α␈mption␈α␈.
␈β	%␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWe␈α
m␈α␈ay␈α	assu␈α␈me␈α	that␈↓ ∧F␈ε	u␈↓ ∧c␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α	an␈α␈d␈α	that␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εI␈εβis␈α	odd␈α␈.␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'␈α↓s␈α	meth␈α␈od␈α	ap␈α␈plied␈α	to␈α	the
␈β	H␈↓ βε␈εε2␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	-␈εp␈↓ 	;␈ε~␈␈εε1)/2
␈β	L␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β~␈ε↔␈␈↓ βC␈ε	u␈↓ βb␈εβtell␈α↓s␈αus␈αtha␈α␈t␈αa␈αsqu␈α␈are␈αroo␈α␈t␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈s␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈↓ 	⊃␈ε	u␈↓ 
λ␈εβmo␈α␈d␈↓ 
L␈ε	p␈↓ 
g␈εβ=␈α1␈α␈;
␈β	t␈↓ ↓H␈εβlet␈αu␈α␈s␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αthis␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αho␈α␈lds.
␈β
_␈↓ βb␈εe
␈β
≤␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	p␈↓ αb␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
=␈↓ βQ␈εβ2␈↓ βt␈ε↔↓␈↓ ∧¬␈ε	q␈↓ ∧∀␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬	␈ε	q␈↓ ¬$␈εβis␈αodd␈α␈.␈α
Zasse␈α␈nh␈α␈aus's␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αsug␈α␈gests␈αthe
␈β
C␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsqu␈α␈are-ro␈α␈ot␈αex␈α␈traction␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈αSe␈α␈t␈↓ ε|␈ε	t␈↓ π∩␈ε↔ ␈εβ␈α	0.␈αEvalu␈α␈ate
␈β
t␈↓ β
␈εq␈↓ βw␈εε2␈↓ ε∞␈εε2␈↓ ε~␈εq␈↓ ππ␈εε2
␈β
w␈↓ α≠␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ πX␈εα)
␈β
z␈↓ ↓i␈εβgc␈α␈d␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε	x␈↓ αK␈εβ+␈↓ αs␈ε	t␈↓ α␈␈εβ)␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βf␈ε	x␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧l␈εβgcd␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬w␈ε	t␈↓ εβ␈εβ)␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ εv␈ε	x␈↓ π≠␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	u␈↓ πd␈εβ,
␈β#␈↓ ¬W␈εε4␈↓ ¬d␈εq␈↓ εQ␈εε2␈↓ λg␈εε8␈↓ λt␈εq␈↓ 	a␈εε2
␈β&␈↓ ∧h␈εα(␈↓ π"␈εα)␈↓ πx␈εα(␈↓ 
1␈εα)
␈β)␈↓ ∧6␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬↔␈εβ+␈↓ ¬@␈ε	t␈↓ ¬L␈εβ)␈↓ ¬w␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε?␈ε	x␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	u␈↓ π.␈εβ,␈↓ πF␈εβg␈α␈cd␈↓ λ∧␈εβ(␈↓ λ∂␈ε	x␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	t␈↓ λ\␈εβ)␈↓ 	π␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	u␈ε↔␈␈↓ 
≥␈ε	u␈↓ 
=␈εβ,␈↓ 
U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εβ,
␈β`␈↓ ↓H␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α|n␈α␈ding␈α
the␈α|␈α␈rst␈αcase␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αgcd␈α
i␈α↓s␈αn␈α␈ot␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈εβ)␈α↓.␈αIf␈αthe␈αg␈α␈cd␈αis␈↓ 
∧␈ε	x␈↓ 
≥␈ε↔␈␈↓ 
F␈ε	v␈↓ 
W␈εβ,␈αth␈α␈en
␈ββ␈↓ ∧B␈εε2
␈β¬␈↓ ↓i␈∧¬↓iα∃
␈βε␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βπ␈↓ ↓i␈ε	u␈↓ αε␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ αR␈ε	v␈↓ αc␈εβ.␈αIf␈αthe␈α
gcd␈α
i␈α↓s␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬∪␈εβ,␈αset␈↓ ¬[␈ε	t␈↓ ¬p␈ε↔ ␈↓ ε≠␈ε	t␈↓ ε.␈εβ+␈αλ1␈α
and␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion.
␈β+␈↓ βu␈εk␈↓ ∧h␈εε2␈↓ 	∂␈εk␈↓ 	≤␈εε+␈α↓1␈↓ 
)␈εε2
␈β/␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIf␈α(␈↓ β∨␈ε	x␈↓ β6␈εβ+␈↓ β↑␈ε	t␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧π␈εβmod␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬"␈ε	u␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ ¬u␈ε	a␈↓ εε␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εE␈ε	b␈↓ εR␈εβ,␈α
then␈α	w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
(␈↓ λ9␈ε	x␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λx␈ε	t␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	H␈εβm␈α␈od␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈↓ 
c␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βR␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬@␈εk␈↓ ε4␈εε2␈↓ λK␈εε2␈↓ 	_␈εε2␈↓ ↔␈εq
␈βV␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓g␈εβ+␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α ␈ε	t␈↓ α,␈εβ)␈↓ α7␈ε	x␈↓ αP␈εβ+␈απ(␈↓ ββ␈ε	b␈↓ β⊂␈ε	t␈↓ β$␈εβ+␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈ε	u␈↓ βq␈εβ),␈αan␈α␈d␈α
(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ+␈↓ ¬≥␈ε	t␈↓ ¬)␈εβ)␈↓ ¬S␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε#␈ε	x␈↓ εH␈ε↔␈␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ)␈α
=␈α	2␈↓ πT␈ε	a␈↓ πd␈ε	b␈↓ πq␈ε	x␈↓ λ
␈εβ+␈αλ(␈↓ λ>␈ε	b␈↓ λ←␈εβ+␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	$␈ε	u␈↓ 	8␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
X␈εβ+␈↓ ␈ε	t␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βz␈↓ α2␈εε2␈↓ α>␈εq
␈β}␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α≠␈ε	t␈↓ α'␈εβ)␈↓ αK␈εβ,␈↓ αe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β≤␈εβare␈α⊂e␈α␈asy␈α⊂to␈α∂eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α⊂e␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈α␈,␈α∩a␈α␈nd␈α⊂t␈α␈he␈α⊂ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∂for␈α⊂|x␈α}ed␈↓ 
F␈ε	t␈↓ 
b␈εβt␈α␈ak␈α␈e␈α␈s
␈β
"␈↓ αC␈εε3
␈β
#␈↓ ↓`␈εα(␈↓ αP␈εα)
␈β
&␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈εβlog␈↓ α'␈ε	p␈↓ α8␈εβ)␈↓ αh␈εβun␈α␈its␈α
of␈αtime.␈α⊂Th␈α␈e␈α
sq␈α␈uar␈α␈e␈α
ro␈α␈ot␈α
will␈α
be␈αfou␈α␈nd␈αwh␈α␈en␈↓ λ\␈ε	t␈↓ λt␈εβ=␈α0␈αwith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
I␈↓ ↓z␈εe␈↓ α∧␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
M␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α*␈εβ;␈αth␈α}us␈αit␈αwi␈α↓ll␈αalway␈α␈s␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈αimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α
when␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ
␈εβmo␈α␈d␈↓ λQ␈εβ4␈α	=␈α
3.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈oose␈↓ 
x␈ε	t␈↓ ∂␈εβa␈α␈t
␈β
u␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αλinstea␈α␈d␈αλof␈α	inc␈α␈reasin␈α␈g␈α	it␈αλsequ␈α␈en␈α␈tially,␈α	ex␈α}ercise␈αλ14␈αλgiv␈α␈es␈αλa␈αλri␈α↓g␈α␈orou␈α␈s␈α	p␈α␈roo␈α␈f␈α	th␈α␈at␈α	e␈α␈ach
␈β∞≤␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓←␈εβgiv␈α␈es␈αsucce␈α␈ss␈αat␈αlea␈α␈st␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αha␈α␈lf␈αof␈αth␈α␈e␈αtime;␈αbu␈α␈t␈αfor␈αp␈α␈ractica␈α␈l␈αpu␈α␈rpo␈α␈ses␈αth␈α␈i␈α↓s␈αrand␈α␈om
␈β∞D␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoice␈αisn␈α␈'t␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈.
␈β∞l␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∞squ␈α␈are-ro␈α␈ot␈α∞me␈α␈thod␈α
h␈α␈as␈α∞b␈α␈een␈α
sug␈α␈gested␈α
b␈α␈y␈α∞D.␈α∞S␈α␈ha␈α␈nk␈α␈s.␈α∀Whe␈α␈n␈↓ 
.␈ε	e␈↓ 
I␈εβ>␈α∞1␈α
it
␈β∂␈↓ λj␈ε
e␈↓ λu␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂∂␈↓ λ↑␈εε2
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quires␈απa␈α␈n␈απau␈α␈xiliary␈απco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧u␈ε	z␈↓ ¬
␈εβ(de␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈απon␈α␈l␈α↓y␈αεon␈↓ π!␈ε	p␈↓ π2␈εβ)␈απsu␈α␈ch␈απth␈α␈at␈↓ λP␈ε	z␈↓ 	 ␈ε↔⊃␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π␈ε	p␈↓ _␈εβ).
␈β∂7␈↓ β8␈εq
␈β∂;␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈↓ αb␈ε	z␈↓ αy␈εβ=␈↓ β$␈ε	n␈↓ βI␈εβmod␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧(␈εβwil␈α↓l␈α
w␈α␈o␈α␈rk␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
o␈α␈ne␈α	ha␈α␈l␈α↓f␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ 	≠␈ε	n␈↓ 	/␈εβ;␈α
on␈α␈ce␈↓ 

␈ε	z␈↓ 
$␈εβis␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α␈,
␈β∂b␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αrequ␈α␈ires␈αno␈α
more␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓listic␈αcalcu␈α␈lation␈α␈:
␈β⊂␈↓ ∧k␈εε(␈↓ ∧s␈εq␈↓ ∧␈␈εε+1)/2␈↓ π↔␈εq
␈β⊂∂␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αE␈ε	y␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β␈ε	z␈↓ β→␈εβ,␈↓ β.␈ε	r␈↓ βF␈ε↔ ␈↓ βp␈ε	e␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	v␈↓ ∧,␈ε↔ ␈↓ ∧W␈ε	u␈↓ ¬L␈εβmod␈↓ ε⊃␈ε	p␈↓ ε"␈εβ,␈↓ ε6␈ε	w␈↓ εX␈ε↔ ␈↓ πα␈ε	u␈↓ π(␈εβmod␈↓ πm␈ε	p␈↓ π}␈εβ.
␈β⊂3␈↓ 
E␈ε
k
␈β⊂7␈↓ 
8␈εε2
␈β⊂;␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	w␈↓ αO␈εβ=␈α	1,␈αsto␈α␈p;␈↓ βo␈ε	v␈↓ ∧␈εβis␈α
the␈α
an␈α␈sw␈α␈er.␈αOther␈α␈w␈α↓ise␈α
|n␈α␈d␈α
the␈α
sma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈↓ λr␈ε	k␈↓ 	
␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ 
 ␈ε	w␈↓ 
W␈εβmo␈α␈d␈↓ ≤␈ε	p
␈β⊂c␈↓ α␈εβis␈αequ␈α␈al␈αto␈α1.␈αIf␈↓ βs␈ε	k␈↓ ∧
␈εβ=␈↓ ∧7␈ε	r␈↓ ∧F␈εβ,␈αstop␈α(th␈α␈ere␈αis␈αno␈α
an␈α␈swe␈α␈r);␈αo␈α␈therwise␈αse␈α␈t
␈β⊃∀␈↓ ε#␈ε
r␈↓ ε/␈ε≠␈␈↓ εE␈ε
k␈↓ π0␈ε
r␈↓ π<␈ε≠␈␈↓ πR␈ε
k␈↓ π←␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λG␈ε
r␈↓ λS␈ε≠␈␈↓ λj␈ε
k
␈β⊃_␈↓ ε⊗␈εε2␈↓ π$␈εε2␈↓ λ;␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε	y␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈ε	r␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	w␈↓ ¬:␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(␈↓ ε∧␈ε	y␈↓ εR␈εβ,␈↓ εa␈ε	k␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε	v␈↓ π⊃␈ε	y␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε	w␈↓ λ(␈ε	y␈↓ λv␈εβ)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα10␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα+␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αs␈α␈tep␈αS␈α␈2.
␈βα-␈↓ ∧J␈∧α-∧J≠∂
␈βαc␈↓ ↔␈εε2
␈βαg␈↓ α␈εβThe␈αvalidity␈αof␈α
this␈α
algo␈α␈rithm␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
fro␈α␈m␈α
the␈α
in␈α}varia␈α␈n␈α␈t␈α
co␈α␈ngru␈α␈en␈α␈ces␈↓ 
≡␈ε	u␈↓ 
2␈ε	w␈↓ 
W␈ε↔⊃␈↓ ¬␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈ββε␈↓ ↓g␈ε
r␈↓ ↓r␈ε≠␈␈επ1␈↓ β=␈ε
r␈↓ βI␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈ββ
␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ β0␈εε2␈↓  ␈εε2
␈ββ␈↓ β␈εε1
␈ββ∂␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ α!␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1,␈↓ β_␈ε	w␈↓ βw␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α(mod␈α␈ulo␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬U␈εβ).␈α⊃On␈α
th␈α␈e␈α
av␈α}erag␈α␈e,␈α∞step␈αS2␈α
will␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈αabo␈α␈ut␈↓ ∪␈ε	e
␈ββ≥␈↓ β␈∧β≥βα
␈ββ∨␈↓ β␈εε4
␈ββ6␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
m␈α␈od␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧α␈εβ.␈α∃Referen␈α␈ce:␈ε⊂␈α
P␈α↓ro␈α␈c.␈α
S␈α␈econ␈α␈d␈α	Ma␈α␈nitob␈α␈a␈α	Con␈α␈f␈α↓.␈α	Num␈α␈er.␈α
Ma␈α␈th.␈εβ␈α	(197␈α␈2),
␈ββ↑␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈8↑6␈α␈2.␈↓ α1␈εβA␈αrelated␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αwas␈α
p␈α␈ub␈α␈li␈α↓s␈α␈hed␈αb␈α␈y␈αA.␈α
Ton␈α␈ell␈α↓i,␈ε⊂␈α
G␈↓ λ∞␈ε⊂∪␈↓ λ∞␈ε⊂o␈↓ λ∨␈ε⊂ttin␈α␈ger␈αNach␈α␈rich␈α␈te␈α␈n␈εβ␈α(189␈α␈1),
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈44↑␈α␈346␈α␈.
␈β∧7␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α
Su␈α␈bstitu␈α␈te␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε␈ε	p␈↓ ε'␈εβfor␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈αin␈α
the␈α
pro␈α␈of␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	G␈ε	n␈↓ 	d␈εβ=␈α	1.␈α_(b)␈α
The
␈β∧W␈↓ 
2␈ε
n
␈β∧[␈↓ λS␈εk␈↓ 
$␈εp
␈β∧←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ αP␈ε	n␈↓ αm␈εβ=␈α
1␈α
c␈α␈arries␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
to␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α	|n␈α␈i␈α↓te␈α	|eld.␈α⊗(c)␈α
Sin␈α␈ce␈↓ π}␈ε	x␈↓ λ→␈εβ=␈↓ λC␈ε	_␈↓ λj␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ 	o␈ε	k␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	x␈↓ 
K␈εβ=␈↓ 
u␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β∧}␈↓ 
Q␈ε
m
␈β¬β␈↓ 
C␈εp
␈β¬π␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλ|␈α␈eld␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈↓ β`␈ε	f␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ).␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α	the␈απelemen␈α}ts␈↓ π0␈ε	y␈↓ πK␈εβth␈α␈at␈αλsa␈α␈tisf␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλequ␈α␈ation␈↓ 
0␈ε	y␈↓ 
o␈εβ=␈↓ ~␈ε	y
␈β¬&␈↓ 
F␈ε
m
␈β¬*␈↓ 
8␈εp
␈β¬.␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈α|eld␈αare␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αad␈α␈dition,␈αa␈α␈nd␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈αso␈αif␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
f␈εβ=␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β¬N␈↓ 	"␈ε
m
␈β¬R␈↓ 	∀␈εp
␈β¬V␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	_␈↓ α.␈εβ(being␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αin␈↓ ¬↓␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβwi␈α↓th␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts)␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈↓ 	∧␈ε	_␈↓ 	A␈εβ=␈↓ 	k␈ε	_␈↓ 	{␈εβ.
␈βελ␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	_␈↓ αH␈εβis␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αroo␈α␈t,␈αe␈α␈ach␈α
no␈α␈nzero␈α
elemen␈α}t␈αis␈αsome␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ 	!␈ε	_␈↓ 	1␈εβ.␈αHence␈α
the␈αo␈α␈rde␈α␈r
␈βε+␈↓ ∧↔␈εε2␈↓ ¬)␈εε3
␈βε0␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈α1␈↓ ∧π␈εβ3␈↓ ∧+␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈↓ ¬→␈εβ2␈↓ ¬=␈ε↔↓␈εβ␈αλ3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ε\␈ε	⎇␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	f␈↓ π
␈εβ)␈αelem␈α␈en␈α␈ts␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
orde␈α␈r␈↓ 	P␈ε	f␈↓ 	`␈εβ.
␈βεy␈↓ α↑␈ε	f␈↓ β!␈ε	⎇␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε	f␈↓ βQ␈εβ)␈↓ ∧`␈ε	f␈↓ ¬+␈ε	⎇␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	f␈↓ ¬[␈εβ)␈↓ εi␈ε	f␈↓ π=␈ε	⎇␈↓ πR␈εβ(␈↓ π↑␈ε	f␈↓ πm␈εβ)␈↓ 	␈ε	f␈↓ 	h␈ε	⎇␈↓ 	}␈εβ(␈↓ 
	␈ε	f␈↓ 
→␈εβ)
␈βπ+␈↓ α]␈εβ1␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ3␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εq␈εβ7␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ21␈↓ 	u␈εβ12
␈βπS␈↓ α]␈εβ2␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ6␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εa␈εβ1␈α␈4␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ42␈↓ 	u␈εβ12
␈βπz␈↓ α]␈εβ4␈↓ β6␈εβ2␈↓ ∧W␈εβ1␈α␈2␈↓ ¬@␈εβ4␈↓ εa␈εβ2␈α␈8␈↓ πJ␈εβ12␈↓ 	␈εβ84␈↓ 	u␈εβ24
␈βλ"␈↓ α]␈εβ8␈↓ β6␈εβ4␈↓ ∧W␈εβ2␈α␈4␈↓ ¬@␈εβ8␈↓ εa␈εβ5␈α␈6␈↓ πJ␈εβ24␈↓ λ{␈εβ168␈↓ 	u␈εβ48
␈βλv␈↓ αc␈εα(␈↓ βV␈εα)␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ¬,␈εα)
␈βλy␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ(a)␈αp␈α␈p␈↓ αo␈ε	p␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β:␈ε	x␈↓ βK␈εβ)␈↓ βh␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧∀␈εβpp␈↓ ∧E␈ε	p␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	u␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬8␈εβ,␈αb␈α␈y␈αGa␈α␈uss's␈αlemm␈α␈a.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αexa␈α␈mple,␈αlet
␈β	β␈↓ α␈␈εε1␈↓ β*␈εn␈↓ ∧U␈εr␈↓ ∧␈␈εn
␈β	@␈↓ αt␈εε3␈↓ βS␈εε2␈↓ εG␈εε3␈↓ π&␈εε2␈↓ 	7␈εε2
␈β	F␈↓ ↓c␈ε	u␈↓ ↓w␈εβ(␈↓ αα␈ε	x␈↓ α∪␈εβ)␈α	=␈α
6␈↓ αc␈ε	x␈↓ βλ␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ βA␈ε	x␈↓ βg␈εβ+␈απ2␈↓ ∧ ␈ε	x␈↓ ∧9␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ¬I␈ε	v␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	x␈↓ ¬w␈εβ)␈α	=␈↓ ε6␈ε	x␈↓ ε[␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π:␈εβ+␈αλ1␈α␈2␈↓ λ∧␈ε	x␈↓ λ≥␈ε↔␈␈εβ␈απ36␈α	=␈α	(␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	K␈εβ+␈αλ1␈α␈2)(␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
D␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈α␈);
␈β
∞␈↓ αw␈εε2␈↓ ∧7␈εε2
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈αp␈α␈p(36␈↓ αe␈ε	x␈↓ β␈εβ+␈αλ12␈α␈)␈α
=␈α
3␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧L␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αpp␈α␈(6␈↓ ¬[␈ε	x␈↓ ¬t␈ε↔␈␈εβ␈αλ3)␈α
=␈α
2␈↓ ε␈␈ε	x␈↓ π_␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α~(␈α↓Th␈α␈is␈αis␈αa␈αm␈α␈ode␈α␈rn␈αv␈α␈ersion␈αo␈α␈f␈αa
␈β
:␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈urtee␈α␈n␈α␈th␈α␈-␈α↓c␈α␈en␈α␈tu␈α␈ry␈αtrick␈α
use␈α␈d␈αfor␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
y␈α␈ea␈α␈rs␈αto␈αhe␈α␈l␈α↓p␈α
solv␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebr␈α␈aic␈αequ␈α␈ation␈α␈s.)
␈β
]␈↓ ¬≡␈εm
␈β
↑␈↓ β'␈εα(␈↓ ∧↔␈εα)
␈β
a␈↓ α␈εβ(b)␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α∞p␈α␈p␈↓ β3␈ε	w␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	u␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧0␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ∩␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬>␈εβ+␈↓ ¬i␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε_␈εβ+␈↓ εC␈ε	w␈↓ εF␈εβ∩␈↓ εs␈εβ=␈↓ π"␈ε	w␈↓ π;␈εβ(␈↓ πF␈ε	u␈↓ πi␈ε	x␈↓ πz␈εβ)␈α↓/␈↓ λ⊗␈ε	c␈↓ λ#␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈↓ 	≥␈ε	c␈↓ 	8␈εβis␈α∞th␈α␈e␈α∞co␈α␈n␈α␈ten␈α}t␈α∞o␈α␈f
␈β
l␈↓ βj␈εn␈↓ ∧u␈εm␈↓ εY␈εε0␈↓ πY␈εn
␈β¬␈↓ π⊗␈εm␈↓ πJ␈εm␈↓ ␈εm
␈β	␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	u␈↓ α∂␈ε	x␈↓ α ␈εβ)␈αa␈α␈s␈αa␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈αin␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ.␈αTh␈α␈en␈↓ ¬L␈ε	w␈↓ ¬e␈εβ(␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ εK␈ε	c␈↓ εX␈ε	w␈↓ ε]␈εβ∩␈↓ εq␈εβ/␈↓ πα␈ε	u␈↓ π-␈εβ)␈↓ π8␈ε	x␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ@␈εβ+␈↓ λh␈ε	c␈↓ λu␈ε	w␈↓ λx␈εβ∩␈↓ 	_␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈↓ 
	␈ε	c␈↓ 
⊗␈ε	w␈↓ 
→␈εβ∩␈↓ 
M␈εβ=␈↓ 
x␈ε	u␈↓ #␈εβ;
␈β∀␈↓ ↓␈␈εn␈↓ 	␈εε0␈↓ 
,␈εm
␈β_␈↓ π⊗␈εn␈↓ ␈εn
␈β,␈↓ εm␈εm␈↓ π∧␈ε~␈␈εε1
␈β1␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε	w␈↓ α≤␈εβ∩␈↓ αR␈εβis␈αa␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ ∧#␈ε	u␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ∧r␈εβi␈α↓s␈αa␈αm␈α}ultiple␈αof␈↓ εY␈ε	u␈↓ π*␈εβ.
␈β;␈↓ α/␈εm␈↓ ∧6␈εn
␈β@␈↓ εm␈εn
␈β←␈↓ λ␈εn
␈βc␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ)␈α	=␈↓ β≥␈ε	v␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	x␈↓ βK␈εβ)␈↓ βV␈ε	w␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈αwith␈αde␈α␈g(␈↓ ¬*␈ε	v␈↓ ¬;␈εβ)␈α↓d␈α␈eg(␈↓ ε∧␈ε	w␈↓ ε≤␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	1,␈αthen␈↓ πL␈ε	u␈↓ πp␈ε	X␈↓ λ%␈ε↔⊃␈↓ λO␈ε	v␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	x␈↓ λ⎇␈εβ)␈↓ 	λ␈ε	w␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	=␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
S␈ε	p␈↓ 
d␈εβ).␈αBy
␈βm␈↓ π←␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈e␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ∧j␈ε	p␈↓ ∧{␈εβ,␈αall␈αb␈α␈ut␈α
the␈α
lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λr␈ε	v␈↓ 	∞␈εβa␈α␈nd␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	q␈εβare␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β.␈↓ αe␈εε2
␈β2␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	p␈↓ ↓␈␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ αU␈ε	p␈↓ α⎇␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ βn␈ε	v␈↓ ∧	␈ε	w␈↓ ∧5␈εβ=␈↓ ∧`␈ε	u␈↓ ¬␈εβ.
␈β<␈↓ β⎇␈εε0␈↓ ∧∨␈εε0␈↓ ∧s␈εε0
␈βF␈↓ α=␈ε↓P␈↓ ε∂␈ε↓P
␈βd␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αc␈εβ(␈↓ αn␈ε	␈↓ β↓␈ε	u␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε	u␈↓ ∧∪␈εβ)(␈↓ ∧)␈ε	␈↓ ∧*␈εβ∩␈↓ ∧<␈ε	u␈↓ ∧=␈εβ∩␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬␈εβ∩␈↓ ¬P␈εβ)␈α	=␈↓ ε5␈εβ(␈↓ ε@␈ε	u␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	␈↓ π∞␈εβ∩␈↓ π∨␈ε	u␈↓ πd␈εβ)␈α↓(␈↓ π{␈ε	u␈↓ π|␈εβ∩␈↓ λ!␈ε↔␈␈↓ λI␈ε	␈↓ λ[␈ε	u␈↓ λ]␈εβ∩␈↓ 	!␈εβ).␈α_(b␈α␈)␈αWe␈α
may␈α
a␈α␈s-
␈βm␈↓ ¬
␈ε↓Q
␈βo␈↓ β∀␈εj␈↓ βa␈εj␈↓ βm␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧P␈εj␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε1␈↓ εS␈εj␈↓ π3␈εj␈↓ π?␈ε~␈␈εε1␈↓ λ∂␈εj␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈ε~␈␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈me␈αλtha␈α␈t␈↓ α`␈ε	u␈↓ β	␈ε↔≤␈εβ␈α	0.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧∩␈ε	m␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ)␈α
=␈↓ ε⊂␈εβmin␈↓ εH␈εβ(1␈α␈,␈ε↔␈αεj␈↓ ε{␈ε	␈↓ π→␈ε↔j␈εβ)␈α	=␈↓ πa␈ε	u␈↓ λ↓␈εβ/␈↓ λ⊃␈ε	M␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	u␈↓ λS␈εβ)␈↓ λ↑␈ε	u␈↓ 	α␈εβ.␈α
When␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈ε↔␈α	j␈↓ 
8␈ε	␈↓ 
U␈ε↔j␈εβ␈α
<␈α
1␈α␈,
␈β
⊗␈↓ αs␈εε0␈↓ π
␈εj␈↓ πt␈εε0␈↓ λq␈εn␈↓ 
I␈εj
␈β
≡␈↓ ¬/␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬U␈εj␈↓ ¬a␈ε~∀␈↓ ¬z␈εn
␈β
7␈↓ ↓H␈εβc␈α␈han␈α␈ge␈α
the␈α
fact␈α␈or␈↓ βO␈ε	x␈↓ βg␈ε↔␈␈↓ ∧∂␈ε	␈↓ ∧7␈εβto␈↓ ∧←␈ε	␈↓ ∧`␈εβ∩␈↓ ∧⎇␈ε	x␈↓ ¬∃␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αin␈↓ ¬␈␈ε	u␈↓ ε∪␈εβ(␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε/␈εβ);␈αthis␈αd␈α␈oesn␈α␈'t␈αa{ec␈α␈t␈ε↔␈αj␈↓ λd␈ε	u␈↓ λx␈ε↔j␈εβ␈α↓.␈αNo␈α}w␈αlook␈α␈ing␈α
at␈α
the
␈β
B␈↓ ∧ ␈εj␈↓ ∧q␈εj
␈β
[␈↓ ε}␈εε2␈↓ πu␈εε2␈↓ λI␈εε2␈↓ 	4␈εε2␈↓ 
∞␈εε2
␈β
←␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈αλa␈α␈nd␈αλtra␈α␈i␈α↓ling␈αλc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αλon␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α	we␈αλh␈α␈av␈α␈e␈ε↔␈αλj␈↓ εa␈ε	u␈↓ εu␈ε↔j␈↓ π∀␈ε↔∃␈α
j␈↓ πH␈ε	u␈↓ πk␈ε↔j␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ≡␈εβ(␈↓ λ*␈ε	u␈↓ λ>␈εβ)␈↓ λY␈εβ+␈ε↔␈α∧j␈↓ 	π␈ε	u␈↓ 	+␈ε↔j␈↓ 	A␈ε	M␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	n␈ε	u␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
~␈εβ;␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α	w␈α␈e
␈β
i␈↓ π[␈εn␈↓ 	≠␈εn
␈β∞α␈↓ ¬z␈εε2␈↓ εm␈εε2␈↓ πS␈εε4␈↓ λn␈εε2␈↓ 	¬␈εε1/2␈↓ 
∞␈εε2
␈β∞β␈↓ ε:␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈απthe␈αλs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αλstro␈α␈nge␈α␈r␈αλresult␈↓ ¬-␈ε	M␈↓ ¬O␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	u␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ε⊂␈ε↔∀␈↓ εF␈ε↔j␈↓ εO␈ε	u␈↓ εc␈ε↔j␈↓ ε⎇␈εβ+␈αβ(␈ε↔j␈↓ π6␈ε	u␈↓ πJ␈ε↔j␈↓ πc␈ε↔␈␈εβ␈αβ4␈ε↔j␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λA␈ε	u␈↓ λe␈ε↔j␈↓ λz␈εβ)␈↓ 	7␈εβ/2␈ε↔j␈↓ 	b␈ε	u␈↓ 
¬␈ε↔j␈↓ 
≠␈εβ.␈α∩(c)␈↓ 
c␈ε	u␈↓ ␈εβ=
␈β∞⊂␈↓ ↓x␈ε↓P␈↓ 	Y␈ε↓P
␈β∞⊃␈↓ λ4␈εε0␈↓ λT␈εn␈↓ 	u␈εn␈↓ 
v␈εj
␈β∞.␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ α#␈ε	␈↓ αN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α{␈ε	␈↓ βM␈εβ,␈αλan␈αεelemen␈α}tary␈απsy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈απfu␈α␈nctio␈α␈n,␈αλhen␈α␈ce␈ε↔␈απj␈↓ λ:␈ε	u␈↓ λY␈ε↔j␈α
∀␈α	j␈↓ 	 ␈ε	u␈↓ 	J␈ε↔j␈↓ 
∧␈ε	␈␈↓ 
/␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
[␈ε	␈
␈β∞9␈↓ ↓[␈εm␈↓ α5␈εi␈↓ β␈εi␈↓ λM␈εj␈↓ 	3␈εm␈↓ 
∃␈εi␈↓ 
l␈εi
␈β∞@␈↓ α=␈επ1␈↓ β∃␈ε
m␈↓ β+␈ε≠␈␈↓ βA␈ε
j␈↓ 
≡␈επ1␈↓ 
u␈ε
m␈↓ 
␈ε≠␈␈↓ !␈ε
j
␈β∞V␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α*␈ε	␈␈↓ αR␈εβ=␈↓ β↓␈εβma␈α␈x␈↓ β@␈εβ(1,␈ε↔␈α¬j␈↓ βt␈ε	␈↓ ∧⊂␈ε↔j␈εβ).␈α∩We␈α∞c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α∞t␈α␈he␈α
pro␈α␈of␈α
by␈α
sh␈α␈o␈α␈wing␈α
th␈α␈at␈α
when␈↓ 	w␈ε	x␈↓ 
!␈ε↔∃␈εβ␈α
1,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β∞←␈↓ 	c␈ε↓P
␈β∞`␈↓ α;␈εi␈↓ ∧¬␈εi␈↓ 
π␈εε1
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓t␈ε↔∃␈εβ␈α1,␈α
an␈α␈d␈↓ β␈ε	x␈↓ β,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈ε	x␈↓ ∧∧␈εβ=␈↓ ∧2␈ε	M␈↓ ∧U␈εβ,␈α
the␈αelemen␈α}tary␈αsy␈α␈mmetric␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λ⎇␈ε	≠␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 
∂␈ε	x␈↓ 
8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
e␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂β␈↓ ↓w␈ε↓␈␈↓ α;␈ε↓↓␈↓ β∨␈ε↓␈␈↓ βc␈ε↓↓
␈β∂λ␈↓ ↓W␈εn␈↓ β~␈εε1␈↓ βh␈εn␈↓ 	␈εn␈↓ 	≥␈εk␈↓ 
≡␈εi␈↓ 
t␈εi
␈β∂⊂␈↓ 
'␈επ1␈↓ 
⎇␈ε
k
␈β∂≥␈↓ α¬␈εn␈↓ α∃␈ε~␈␈εε1␈↓ β-␈εn␈↓ β>␈ε~␈␈εε1
␈β∂%␈↓ ↓H␈ε↔∀␈↓ αI␈ε	M␈↓ αu␈εβ+␈↓ βq␈εβ,␈α∂the␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞a␈α␈ssume␈α␈d␈α∞wh␈α␈en␈↓ πα␈ε	x␈↓ π,␈εβ=␈↓ π\␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ⊂␈εβ=␈↓ λ?␈ε	x␈↓ 	∪␈εβ=␈α∞1␈α
and␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ=␈↓ ↓␈ε	M␈↓ #␈εβ.
␈β∂/␈↓ π∩␈εε1␈↓ λO␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1␈↓ 
3␈εn
␈β∂5␈↓ αε␈εk␈↓ α∀␈ε~␈␈εε1␈↓ βB␈εk
␈β∂N␈↓ ↓H␈εα(
␈β∂Q␈↓ ↓T␈εβFo␈α␈r␈α∞i␈α↓f␈↓ α8␈ε	x␈↓ αb␈ε↔∀␈↓ β⊃␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βF␈ε↔∀␈↓ βv␈ε	x␈↓ ∧$␈εβ<␈↓ ∧S␈ε	M␈↓ ∧v␈εβ,␈α∂th␈α␈e␈α∞tran␈α␈sform␈α␈ation␈↓ π0␈ε	x␈↓ π↑␈ε↔ ␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λS␈ε	x␈↓ λs␈εβ,␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	←␈ε↔ ␈εβ␈α∞1␈α∞inc␈α␈rease␈α␈s
␈β∂W␈↓ λ5␈ε↓␈␈↓ λC␈ε↓␈␈↓ 	∞␈ε↓↓␈↓ 
_␈ε↓␈␈↓ 
c␈ε↓↓␈↓ 
q␈ε↓↓
␈β∂\␈↓ αG␈εε1␈↓ ∧¬␈εn␈↓ π@␈εn␈↓ λ≥␈εn␈↓ λ-␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λc␈εn␈↓ 	~␈εn␈↓ 	+␈ε~␈␈εε1
␈β∂q␈↓ λQ␈εm␈↓ λh␈ε~␈␈εε1␈↓ 
&␈εm␈↓ 
=␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∂v␈↓ ε8␈εα)
␈β∂y␈↓ ↓H␈ε	≠␈↓ αα␈εβb␈α␈y␈↓ α3␈ε	≠␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	x␈↓ ∧↓␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)(␈↓ ∧R␈ε	x␈↓ ¬ ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α>␈α0.␈↓ ε`␈εβ(d)␈ε↔␈α
j␈↓ π∨␈ε	v␈↓ π:␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ λ¬␈ε	v␈↓ λ+␈ε↔j␈↓ 	≤␈ε	M␈↓ 	>␈εβ(␈↓ 	I␈ε	v␈↓ 	[␈εβ)␈αλ+␈↓ ␈ε↔∀
␈β⊂β␈↓ ↓W␈εn␈↓ ↓h␈εk␈↓ βh␈εn␈↓ ∧a␈εn␈↓ ∧q␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π.␈εj␈↓ λ∀␈εm
␈β⊂∧␈↓ αC␈εε(␈↓ αK␈εn␈↓ α\␈ε~␈␈εε2␈α␈)␈α↓(␈↓ β∩␈εk␈↓ β∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈β⊂ε␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓␈␈↓ αW␈ε↓↓␈↓ βe␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ∧>␈ε↓↓
␈β⊂	␈↓ λi␈εj␈↓ 
,␈εj␈↓ 
8␈ε~␈␈εε1
␈β⊂ ␈↓ α~␈εm␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ βs␈εm␈↓ ∧␈ε~␈␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓t␈ε↔j␈↓ αe␈ε	M␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	u␈↓ β&␈εβ)␈α
+␈↓ ∧Z␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈ε↔␈α∞j␈↓ ¬8␈ε	v␈↓ ¬↑␈ε↔j␈α∞∀␈α∞j␈↓ ε-␈ε	u␈↓ εQ␈ε↔j␈εβ␈α∞an␈α␈d␈↓ π,␈ε	M␈↓ πN␈εβ(␈↓ πY␈ε	v␈↓ πk␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ λ3␈ε	M␈↓ λU␈εβ(␈↓ λa␈ε	u␈↓ λu␈εβ).␈α∨[Th␈α␈ese␈α∞res␈α␈ults␈α∞are
␈β⊂2␈↓ ↓d␈εn␈↓ ¬F␈εm␈↓ εA␈εn
␈β⊂8␈↓ α2␈εj␈↓ βy␈εj␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβsligh␈α}t␈α∂e␈α␈xten␈α␈sion␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈α∂ine␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ties␈α∞d␈α␈ue␈α∞to␈α∞M.␈α∞Mign␈α␈otte␈α␈,␈ε⊂␈α⊂M␈α␈ath␈α␈.␈α∂Com␈α␈p.␈ε∪␈α∞28␈εβ␈α∞(19␈α␈74),␈α∂11␈α␈53↑
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈157␈α␈.␈α
Se␈α␈e␈αalso␈αJ.␈αVice␈α␈n␈α␈te␈αGon␈↓ ∧t␈εβ_␈↓ ∧z␈εβc␈↓ ¬λ␈εβalv␈α␈es,␈ε⊂␈αRe␈α␈vista␈αde␈αFacu␈α␈l␈α↓d␈α␈ad␈α␈e␈αd␈α␈e␈αCi␈↓ λ|␈ε⊂∂␈↓ λ⎇␈ε⊂e␈↓ 	␈ε⊂n␈α␈cias␈εβ␈α(2)␈αA␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Un␈α␈i␈α↓v␈α␈.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβLisbo␈α␈n,␈α19␈α␈50),␈α16␈α␈7↑1␈α␈71.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ λ␈εα11
␈βα∞␈↓ αA␈ε↓R
␈βα≥␈↓ αY␈εε1
␈βα(␈↓ λ}␈εε2␈↓ 
L␈εε2
␈βα)␈↓ αe␈εα(
␈βα,␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αq␈ε	u␈↓ β∃␈ε	e␈↓ β"␈εβ(␈↓ β-␈ε	n␈↓ βA␈ε	∩␈↓ βO␈εβ)␈α
+␈↓ ∧∞␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ∧i␈ε	u␈↓ ¬	␈εβ)(␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬!␈εβ∩␈↓ ¬C␈ε	e␈↓ ¬P␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬⎇␈ε	n␈↓ ε⊃␈ε	∩␈↓ ε∨␈εβ)␈α	+␈↓ ε↑␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εβ+␈↓ π9␈ε	u␈↓ π:␈εβ∩␈↓ πY␈εβ)␈↓ πj␈ε	d␈↓ π|␈ε	∩␈↓ λ→␈εβ=␈ε↔␈α∞j␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λu␈ε↔j␈↓ 	∀␈εβ+␈↓ 	?␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	o␈εβ+␈ε↔␈α	j␈↓ 
#␈ε	u␈↓ 
B␈ε↔j␈↓ 
f␈εβsince
␈βα7␈↓ β¬␈εn␈↓ ∧|␈εε0␈↓ ¬3␈εn␈↓ πM␈εε0␈↓ λd␈εn␈↓ 
6␈εε0
␈βα?␈↓ αR␈εε0␈↓ 	B␈ε↓␈␈↓ 	g␈ε↓↓
␈βαC␈↓ ↓H␈ε↓R
␈βαR␈↓ ↓`␈εε1
␈βαY␈↓ 	P␈εm
␈βαa␈↓ ↓r␈ε	e␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε	j␈↓ α→␈ε	∩␈↓ α'␈εβ)␈↓ α2␈ε	e␈↓ α?␈εβ(␈ε↔␈␈↓ αl␈ε	k␈↓ α|␈ε	∩␈↓ β
␈εβ)␈↓ β≠␈ε	d␈↓ β-␈ε	∩␈↓ βK␈εβ=␈↓ β|␈ε	∞␈↓ ∧!␈εβ;␈α⊃no␈α␈w␈α∂u␈α␈se␈α∂ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂o␈α␈n␈↓ π␈ε	t␈↓ π_␈εβ.␈α (␈α↓b␈α␈)␈α∂Sin␈α␈ce␈ε↔␈α∂j␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈ε↔j␈α⊂∀␈↓ 	u␈ε	M␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	v␈↓ 
4␈εβ)␈ε↔j␈↓ 
H␈ε	v␈↓ 
n␈ε↔j␈εβ␈α⊂w␈α␈e
␈βαk␈↓ ∧λ␈εj␈↓ ∧∀␈εk␈↓ λl␈εj␈↓ 
W␈εm
␈βαn␈↓ β}␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ λ ␈ε↓↓␈↓ λ.␈ε↓␈␈↓ λV␈ε↓↓
␈βαq␈↓ 	U␈εj
␈βαs␈↓ ↓Y␈εε0
␈ββλ␈↓ ∧␈εε2␈↓ ∧→␈εm␈↓ π|␈εε2␈↓ λ	␈εm␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εk
␈ββ␈↓ β=␈εε2␈↓ ¬λ␈εε2␈↓ ¬M␈εε2␈↓ εu␈εε2␈↓ π-␈εε2␈↓ 	.␈εε2␈↓ 
␈εε2␈↓ 
u␈εε2
␈ββ⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈αth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ β"␈ε	v␈↓ β4␈ε↔j␈↓ βS␈ε↔∀␈↓ ∧>␈ε	M␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	v␈↓ ∧⎇␈εβ)␈↓ ¬∃␈ε↔j␈↓ ¬≡␈ε	v␈↓ ¬D␈ε↔j␈↓ ¬Z␈εβ.␈αHenc␈α␈e␈ε↔␈αj␈↓ ε[␈ε	v␈↓ εl␈ε↔j␈↓ πα␈ε↔j␈↓ π␈ε	w␈↓ π$␈ε↔j␈↓ πC␈ε↔∀␈↓ λd␈ε	M␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	#␈εβ)␈↓ 	;␈ε	M␈↓ 	]␈εβ(␈↓ 	i␈ε	w␈↓ 
↓␈εβ)␈↓ 
→␈ε↔j␈↓ 
"␈ε	v␈↓ 
H␈ε	w␈↓ 
l␈ε↔j␈↓ ␈εβ=
␈ββ~␈↓ ¬-␈εm␈↓ 
1␈εm␈↓ 
↑␈εk
␈ββ ␈↓ ∧∪␈εm␈↓ λβ␈εm␈↓ λC␈εk
␈ββ3␈↓ αw␈εε2␈↓ β9␈εε2␈↓ ¬¬␈εε2
␈ββ7␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	m␈↓ α␈εβ,␈↓ α∂␈ε	k␈↓ α∨␈εβ)␈↓ α*␈ε	M␈↓ αM␈εβ(␈↓ αX␈ε	u␈↓ αl␈εβ)␈↓ ββ␈ε↔j␈↓ β
␈ε	u␈↓ β0␈ε↔j␈↓ βP␈ε↔∀␈↓ β|␈ε	f␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	m␈↓ ∧4␈εβ,␈↓ ∧C␈ε	k␈↓ ∧S␈εβ)␈ε↔j␈↓ ∧h␈ε	u␈↓ ∧|␈ε↔j␈↓ ¬∩␈εβ.␈α~[␈α↓S␈α␈li␈α↓g␈α␈h␈α␈tly␈αbette␈α␈r␈αva␈α␈lues␈αfo␈α␈r␈↓ λ8␈ε	f␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	m␈↓ λp␈εβ,␈↓ λ␈␈ε	k␈↓ 	∂␈εβ)␈αare␈αposs␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αba␈α␈sed
␈ββB␈↓ β ␈εn
␈ββ←␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈re␈αdeta␈α␈il␈α↓e␈α␈d␈αinfo␈α␈rmation␈αin␈αex␈α}ercise␈α20␈α␈.]␈α≤(c)␈αTh␈α␈e␈αcase␈↓ λj␈ε	t␈↓ 	↓␈εβ=␈α3␈αsu␈α␈}ces␈αto␈αsho␈α}w
␈β∧ε␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αg␈α␈et␈αfrom␈↓ β=␈ε	t␈↓ βP␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αt␈α␈o␈↓ ∧=␈ε	t␈↓ ∧I␈εβ.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬S␈εβ=␈α	2␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αth␈α␈at,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ 	1␈ε	∩␈↓ 	I␈εβ,
␈β∧⊃␈↓ 	<␈εε1
␈β∧8␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ ¬"␈ε↓␈␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓␈
␈β∧<␈↓ ↓i␈ε↓R␈↓ α∪␈ε↓R␈↓ α=␈ε↓R␈↓ αg␈ε↓R
␈β∧K␈↓ α↓␈εε1␈↓ α+␈εε1␈↓ αU␈εε1␈↓ α␈␈εε1␈↓ ¬.␈εε2␈↓ πd␈εε2
␈β∧N␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ ¬"␈ε↓␈␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓␈
␈β∧W␈↓ β/␈εα(␈↓ ¬⊗␈εα)␈↓ ¬`␈εα(␈↓ πL␈εα)
␈β∧Z␈↓ β≡␈ε	v␈↓ β;␈ε	e␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	∩␈↓ βk␈εβ),␈↓ ∧¬␈ε	e␈↓ ∧∩␈εβ(␈↓ ∧≥␈ε	≡␈↓ ∧;␈εβ),␈↓ ∧U␈ε	e␈↓ ∧b␈εβ(␈↓ ∧m␈ε	≡␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬G␈ε	w␈↓ ¬l␈ε	e␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	∩␈↓ ε≠␈εβ),␈↓ ε5␈ε	e␈↓ εB␈εβ(␈↓ εM␈ε	{␈↓ εn␈εβ),␈↓ πλ␈ε	e␈↓ π∃␈εβ(␈↓ π ␈ε	{␈↓ πA␈εβ)␈↓ πv␈ε	d␈↓ λ	␈ε	≡␈↓ λ,␈ε	d␈↓ λ?␈ε	≡␈↓ λc␈ε	d␈↓ λu␈ε	{␈↓ 	≠␈ε	d␈↓ 	.␈ε	{
␈β∧e␈↓ β↑␈εε1␈↓ ∧.␈εε2␈↓ ∧}␈εε3␈↓ ε∂␈εε1␈↓ εb␈εε2␈↓ π4␈εε3␈↓ λ~␈εε2␈↓ λP␈εε3␈↓ 		␈εε2␈↓ 	B␈εε3
␈β∧m␈↓ ↓z␈εε0␈↓ α$␈εε0␈↓ αN␈εε0␈↓ αx␈εε0
␈β∧z␈↓ ¬c␈ε↓␈␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ π␈␈ε↓␈␈↓ 

␈ε↓␈
␈β∧⎇␈↓ ¬∞␈ε↓R␈↓ ¬8␈ε↓R
␈β¬␈↓ ¬&␈εε1␈↓ ¬P␈εε1␈↓ πr␈εε2␈↓ 
⊗␈εε2
␈β¬∂␈↓ ¬c␈ε↓␈␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ π␈␈ε↓␈␈↓ 

␈ε↓␈
␈β¬_␈↓ ε␈εα(␈↓ πZ␈εα)␈↓ λ$␈εα(␈↓ 	}␈εα)
␈β¬≠␈↓ αl␈ε↔∀␈↓ β↔␈ε	f␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	m␈↓ β[␈εβ,␈↓ βi␈ε	k␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧⊂␈ε	f␈↓ ∧ ␈εβ(␈↓ ∧+␈ε	m␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	k␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬o␈ε	v␈↓ ε␈ε	e␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	∩␈↓ ε<␈εβ),␈↓ εV␈ε	e␈↓ εc␈εβ(␈↓ εn␈ε	∩␈↓ π¬␈εβ)␈α↓,␈↓ π∨␈ε	e␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	∩␈↓ πO␈εβ)␈↓ λ␈ε	w␈↓ λ0␈ε	e␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈ε	∩␈↓ λ←␈εβ)␈α↓,␈↓ λy␈ε	e␈↓ 	ε␈εβ(␈↓ 	⊃␈ε	∩␈↓ 	)␈εβ),␈↓ 	C␈ε	e␈↓ 	P␈εβ(␈↓ 	[␈ε	∩␈↓ 	s␈εβ)␈↓ 
(␈ε	d␈↓ 
:␈ε	∩␈↓ 
X␈ε	d␈↓ 
j␈ε	∩␈↓ α␈εβ.
␈β¬&␈↓ βN␈εε2␈↓ βx␈εε2␈↓ ∧G␈εε3␈↓ ∧q␈εε3␈↓ ε/␈εε1␈↓ εy␈εε2␈↓ πC␈εε3␈↓ λS␈εε1␈↓ 	≥␈εε2␈↓ 	f␈εε3␈↓ 
F␈εε2␈↓ 
u␈εε3
␈β¬.␈↓ ¬∨␈εε0␈↓ ¬I␈εε0
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αa␈α␈ll␈↓ α5␈ε	≡␈↓ αS␈εβ,␈↓ αg␈ε	≡␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β~␈ε	{␈↓ β;␈εβ,␈↓ βO␈ε	{␈↓ β{␈εβw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αsho␈α}wn␈αtha␈α␈t
␈β¬r␈↓ αF␈εε2␈↓ αy␈εε3␈↓ β.␈εε2␈↓ βc␈εε3
␈βε→␈↓ α=␈ε↓␈␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ π∪␈ε↓␈
␈βε≥␈↓ ↓i␈ε↓R␈↓ α∪␈ε↓R
␈βε,␈↓ α↓␈εε1␈↓ α+␈εε1␈↓ ∧`␈εε2␈↓ π∨␈εε2
␈βε/␈↓ α=␈ε↓␈␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ π∪␈ε↓␈
␈βε8␈↓ α[␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬∩␈εα(␈↓ ππ␈εα)
␈βε;␈↓ αI␈ε	v␈↓ αg␈ε	e␈↓ αt␈εβ(␈↓ α␈␈ε	≡␈↓ β≥␈εβ),␈↓ β7␈ε	e␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	≡␈↓ βm␈εβ),␈↓ ∧π␈ε	e␈↓ ∧∀␈εβ(␈↓ ∧∨␈ε	≡␈↓ ∧=␈εβ)␈↓ ∧y␈ε	w␈↓ ¬≡␈ε	e␈↓ ¬+␈εβ(␈↓ ¬6␈ε	{␈↓ ¬W␈εβ),␈↓ ¬q␈ε	e␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	{␈↓ ε)␈εβ)␈α↓,␈↓ εC␈ε	e␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	{␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π2␈ε	d␈↓ πD␈ε	≡␈↓ πh␈ε	d␈↓ πz␈ε	{
␈βεF␈↓ β⊂␈εε1␈↓ β`␈εε2␈↓ ∧1␈εε3␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ε≥␈εε2␈↓ εp␈εε3␈↓ πV␈εε1␈↓ λ∞␈εε1
␈βεN␈↓ ↓z␈εε0␈↓ α$␈εε0
␈βεZ␈↓ ¬s␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈␈↓ λ≤␈ε↓␈␈↓ 
:␈ε↓␈
␈βε↑␈↓ ¬I␈ε↓R
␈βεm␈↓ ¬a␈εε1␈↓ λ⊂␈εε2␈↓ 
F␈εε2
␈βεp␈↓ ¬s␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈␈↓ λ≤␈ε↓␈␈↓ 
:␈ε↓␈
␈βεy␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ πx␈εα)␈↓ λA␈εα(␈↓ 
.␈εα)
␈βε|␈↓ ∧ ␈ε↔∀␈↓ ∧J␈ε	f␈↓ ∧Z␈εβ(␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬∞␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	k␈↓ ¬8␈εβ)␈↓ ¬␈␈ε	v␈↓ ε≤␈ε	e␈↓ ε)␈εβ(␈↓ ε5␈ε	∩␈↓ εL␈εβ),␈↓ εf␈ε	e␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	≡␈↓ π≤␈εβ),␈↓ π6␈ε	e␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	≡␈↓ πm␈εβ)␈↓ λ(␈ε	w␈↓ λM␈ε	e␈↓ λZ␈εβ(␈↓ λe␈ε	∩␈↓ λ⎇␈εβ),␈↓ 	↔␈ε	e␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	{␈↓ 	P␈εβ),␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	{␈↓ 
"␈εβ)␈↓ 
X␈ε	d␈↓ 
j␈ε	∩␈↓ α␈εβ.
␈βππ␈↓ ¬α␈εε1␈↓ ¬,␈εε1␈↓ ε@␈εε1␈↓ π⊂␈εε2␈↓ π`␈εε3␈↓ λp␈εε1␈↓ 	C␈εε2␈↓ 
⊗␈εε3␈↓ 
u␈εε1
␈βπ∂␈↓ ¬Z␈εε0
␈βπH␈↓ ↓H␈εβIn␈α}tegra␈α␈te␈αth␈α␈e␈αform␈α␈er␈αine␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈α
with␈α
respe␈α␈ct␈αto␈↓ εx␈ε	∩␈↓ π≠␈εβa␈α␈nd␈α
the␈α
latter␈α
wi␈α↓th␈α
resp␈α␈ect␈α
to␈↓ 
S␈ε	≡␈↓ 
q␈εβ,␈↓ ¬␈ε	≡␈↓ #␈εβ,
␈βπS␈↓ πβ␈εε1␈↓ 
d␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈βπp␈↓ ↓H␈ε	{␈↓ ↓h␈εβ,␈↓ α␈ε	{␈↓ α!␈εβ.␈α∨[This␈α
meth␈α␈od␈α
was␈α∞u␈α␈sed␈α
by␈α
A.␈α∞O.␈α∞Gel'fond␈α
in␈ε⊂␈α
Transc␈α␈end␈α␈en␈α}tal␈α∞an␈α␈d␈α∞Alg␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c
␈βπz␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α∀␈εε3
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε⊂Nu␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈εβ␈α(New␈αYork␈α␈:␈αDo␈α}v␈α␈er,␈α19␈α␈60),␈αS␈α␈ection␈α3␈α␈.4,␈αto␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α}e␈αa␈αsligh␈α␈t␈α␈l␈α↓y␈α
di{eren␈α␈t␈αre␈α␈sult.]
␈βλI␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβMo␈α␈re␈αg␈α␈ene␈α␈rally,␈αassu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬2␈ε	u␈↓ ¬F␈εβ(␈↓ ¬Q␈ε	x␈↓ ¬b␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ε!␈ε	v␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	x␈↓ εO␈εβ)␈↓ εZ␈ε	w␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π∂␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ%␈ε	q␈↓ λ4␈εβ),␈↓ λS␈ε	a␈↓ λd␈εβ(␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	␈ε	v␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	(␈ε	x␈↓ 	9␈εβ)␈απ+␈↓ 	s␈ε	b␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ)␈↓ 
(␈ε	w␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1
␈βλq␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ β@␈ε	c␈↓ βM␈ε	#␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	v␈↓ βw␈εβ)␈ε↔␈α∞⊃␈εβ␈α
1␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ ¬↑␈ε	r␈↓ ¬l␈εβ)␈α↓,␈↓ ε∂␈εβd␈α␈eg␈↓ εA␈εβ(␈↓ εL␈ε	a␈↓ ε\␈εβ)␈α∞<␈↓ π$␈εβd␈α␈eg␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	w␈↓ πy␈εβ)␈α↓,␈↓ λ≤␈εβd␈α␈eg␈↓ λN␈εβ(␈↓ λY␈ε	h␈↓ λi␈εβ)␈α∞<␈↓ 	1␈εβd␈α␈eg␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	n␈ε	v␈↓ 	␈␈εβ),␈↓ 
"␈εβd␈α␈eg␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	u␈↓ 
s␈εβ)␈α
=
␈β	→␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α⊗␈εβ)␈α	+␈↓ αU␈εβd␈α␈eg␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	w␈↓ β+␈εβ),␈α∞where␈↓ ∧0␈ε	r␈↓ ∧M␈εβ=␈↓ ∧{␈εβgcd␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	p␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬X␈ε	q␈↓ ¬g␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ εC␈ε	p␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈ε	q␈↓ π␈εβn␈α␈eed␈α␈n't␈α∞b␈α␈e␈α∞p␈α␈rime.␈α∪We␈α∞sh␈α␈all␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈β	@␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ β∧␈ε	V␈↓ β≤␈εβ(␈↓ β'␈ε	x␈↓ β8␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ ∧β␈ε	v␈↓ ∧∀␈εβ(␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧0␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ ¬∞␈ε	W␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬L␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ ε⊗␈ε	w␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εK␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ πg␈ε	q␈↓ πu␈εβ)␈α∂su␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	>␈εβ(␈↓ 	I␈ε	x␈↓ 	Z␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ 
$␈ε	V␈↓ 
<␈εβ(␈↓ 
G␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ)␈↓ 
d␈ε	W␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β	h␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	q␈↓ αX␈ε	r␈↓ αg␈εβ),␈↓ ββ␈ε	#␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	V␈↓ β4␈εβ)␈α	=␈↓ βs␈ε	#␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧≥␈εβ),␈↓ ∧:␈εβde␈α␈g␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	V␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈↓ ¬N␈εβd␈α␈eg␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε≤␈εβ)␈↓ ε/␈εβdeg␈↓ εa␈εβ(␈↓ εl␈ε	W␈↓ π
␈εβ)␈α
=␈↓ πL␈εβdeg␈↓ π}␈εβ(␈↓ λ	␈ε	w␈↓ λ"␈εβ);␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α	if␈↓ 
≠␈ε	r␈↓ 
2␈εβis␈αλp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αresu␈α␈lts␈αwi␈α↓ll␈αbe␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬7␈ε	q␈↓ ¬F␈ε	r␈↓ ¬U␈εβ.
␈β
7␈↓ α␈εβThe␈αεpro␈α␈blem␈απa␈α␈sks␈απu␈α␈s␈απto␈απ|␈α␈nd␈↓ ¬↔␈εβ∩␈↓ ¬↔␈ε	v␈↓ ¬(␈εβ(␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ)␈απan␈α␈d␈↓ ε∀␈ε	w␈↓ ε_␈εβ∩␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε7␈ε	x␈↓ εI␈εβ)␈απwith␈↓ π#␈ε	V␈↓ π:␈εβ(␈↓ πE␈ε	x␈↓ πW␈εβ)␈α	=␈↓ λ⊗␈ε	v␈↓ λ'␈εβ(␈↓ λ2␈ε	x␈↓ λD␈εβ)␈αα+␈↓ λt␈ε	q␈↓ 	β␈εβ∩␈↓ 	β␈ε	v␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	x␈↓ 	0␈εβ),␈↓ 	M␈ε	W␈↓ 	n␈εβ(␈↓ 	y␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α	=␈↓ 
I␈ε	w␈↓ 
b␈εβ(␈↓ 
m␈ε	x␈↓ 
}␈εβ)␈αα+
␈β
\␈↓ λ⎇␈εα(␈↓ 
0␈εα)(
␈β
←␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓Z␈εβ∩␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ),␈↓ α(␈εβdeg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	v␈↓ αf␈εβ∩␈↓ αw␈εβ)␈α	<␈↓ β6␈εβd␈α␈eg␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∧␈εβ),␈↓ ∧!␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ∩␈↓ ∧v␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬5␈εβdeg␈↓ ¬g␈εβ(␈↓ ¬r␈ε	w␈↓ ε␈εβ);␈α	an␈α␈d␈απthe␈απoth␈α␈er␈απcon␈α␈dition␈↓ 		␈ε	v␈↓ 	~␈εβ(␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	7␈εβ)␈αβ+␈↓ 	h␈ε	q␈↓ 	w␈ε	v␈↓ 	x␈εβ∩␈↓ 
	␈εβ(␈↓ 
∀␈ε	x␈↓ 
%␈εβ)␈↓ 
H␈ε	w␈↓ 
a␈εβ(␈↓ 
l␈ε	x␈↓ 
⎇␈εβ)␈αβ+
␈ββ␈↓ α↔␈εα)
␈βε␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓Z␈εβ∩␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈↓ α2␈ε↔⊃␈↓ αb␈ε	u␈↓ αv␈εβ(␈↓ βα␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ ∧/␈ε	q␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧L␈εβ)␈α∂is␈α∂e␈α␈quiv␈α␈alen␈α␈t␈α∞to␈↓ εZ␈ε	w␈↓ ε↑␈εβ∩␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π⊂␈εβ)␈↓ π≠␈ε	v␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πI␈εβ)␈α	+␈↓ λ	␈εβ∩␈↓ λ	␈ε	v␈↓ λ~␈εβ(␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ6␈εβ)␈↓ λA␈ε	w␈↓ λZ␈εβ(␈↓ λe␈ε	x␈↓ λw␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ 	A␈ε	f␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	\␈ε	x␈↓ 	n␈εβ)␈α∂(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	␈ε	r␈↓ _␈εβ),
␈β+␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 
;␈εα)
␈β.␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α]␈εβ)␈ε↔␈α∩⊃␈↓ β-␈ε	v␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈↓ βf␈ε	w␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧≠␈εβ)␈α+␈↓ ∧]␈ε	q␈↓ ∧l␈ε	f␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ ¬_␈εβ)␈α∩(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ε6␈ε	q␈↓ εE␈ε	r␈↓ εS␈εβ).␈α≠We␈α⊂h␈α␈av␈α␈e␈↓ λ"␈ε	a␈↓ λ2␈εβ(␈↓ λ=␈ε	x␈↓ λN␈εβ)␈↓ λZ␈ε	f␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	ε␈εβ)␈α+␈↓ 	H␈ε	t␈↓ 	T␈εβ(␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 	{␈ε	w␈↓ 
∀␈εβ(␈↓ 
∨␈ε	x␈↓ 
0␈εβ)␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α+
␈βR␈↓ ↓H␈εα(␈↓ βV␈εα)
␈βU␈↓ ↓T␈ε	b␈↓ ↓a␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ)␈↓ αλ␈ε	f␈↓ α_␈εβ(␈↓ α#␈ε	x␈↓ α5␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ αi␈ε	t␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β⊃␈εβ)␈↓ β≥␈ε	v␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	x␈↓ βJ␈εβ)␈↓ βb␈ε	w␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧↔␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ ∧V␈ε	f␈↓ ∧e␈εβ(␈↓ ∧q␈ε	x␈↓ ¬α␈εβ)␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ε_␈ε	r␈↓ ε&␈εβ)␈α	for␈αλall␈↓ π↔␈ε	t␈↓ π#␈εβ(␈↓ π.␈ε	x␈↓ π?␈εβ).␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ λ2␈ε	#␈↓ λ@␈εβ(␈↓ λK␈ε	v␈↓ λ]␈εβ)␈αλha␈α␈s␈α	an␈αλin␈α␈v␈α}erse␈αλmod␈α␈ulo
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
c␈α␈an␈α
|␈α␈nd␈αa␈α
q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧E␈ε	t␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧m␈εβ)␈α
by␈αAlgorith␈α␈m␈α
4.6.1␈α␈D␈α
suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ λ[␈εβd␈α␈eg␈↓ 	
␈εβ(␈↓ 	_␈ε	b␈↓ 	%␈ε	f␈↓ 	>␈ε↔␈␈↓ 	g␈ε	t␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
¬␈εβ)␈α<␈↓ 
J␈εβd␈α␈eg␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	v␈↓ _␈εβ);
␈β%␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α⊃th␈α␈is␈↓ αG␈ε	t␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	x␈↓ αo␈εβ),␈↓ β∃␈εβdeg␈↓ βG␈εβ(␈↓ βR␈ε	a␈↓ βc␈ε	f␈↓ β}␈εβ+␈↓ ∧*␈ε	t␈↓ ∧6␈ε	w␈↓ ∧O␈εβ)␈ε↔␈α∩∀␈↓ ¬∨␈εβdeg␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	w␈↓ ¬u␈εβ),␈α∩si␈α↓n␈α␈ce␈↓ εr␈εβde␈α␈g␈↓ π$␈εβ(␈↓ π/␈ε	f␈↓ π?␈εβ)␈ε↔␈α∩∀␈↓ λ⊂␈εβd␈α␈eg␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	u␈↓ λa␈εβ)␈α∩=␈↓ 	2␈εβd␈α␈eg␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	o␈ε	v␈↓ 
␈εβ)␈α+␈↓ 
B␈εβdeg␈↓ 
t␈εβ(␈↓ 
␈␈ε	w␈↓ _␈εβ).
␈βL␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈α∞th␈α␈e␈α∞de␈α␈si␈α↓re␈α␈d␈α∞solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞is␈↓ ∧t␈εβ∩␈↓ ∧t␈ε	v␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊃␈ε	x␈↓ ¬"␈εβ)␈α∞=␈↓ ¬k␈ε	b␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∃␈εβ)␈↓ ε ␈ε	f␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε;␈ε	x␈↓ εL␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ π␈ε	t␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	x␈↓ π3␈εβ)␈↓ π?␈ε	v␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πl␈εβ)␈α∂=␈↓ λ5␈ε	b␈↓ λC␈εβ(␈↓ λN␈ε	x␈↓ λ←␈εβ)␈↓ λj␈ε	f␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	⊗␈εβ)␈↓ 	'␈εβmo␈α␈d␈↓ 	l␈ε	v␈↓ 	⎇␈εβ(␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
→␈εβ),␈↓ 
=␈ε	w␈↓ 
A␈εβ∩␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	x␈↓ 
r␈εβ)␈α∞=
␈βl␈↓ ∧)␈εβ∩␈↓ ∧u␈εβ∩␈↓ 	⎇␈εβ∩
␈βq␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ¬1␈εα)␈↓ λy␈εα(␈↓ 
9␈εα)
␈βt␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈↓ α␈ε	f␈↓ α∂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	x␈↓ α,␈εβ)␈α	+␈↓ αj␈ε	t␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈↓ β≡␈ε	w␈↓ β6␈εβ(␈↓ βB␈ε	x␈↓ βS␈εβ).␈α∩I␈α↓f␈↓ ∧)␈εβ∩␈↓ ∧)␈ε	v␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧F␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ),␈↓ ∧q␈ε	w␈↓ ∧u␈εβ∩␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬K␈εβis␈α
an␈α␈othe␈α␈r␈α∞so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	¬␈ε	w␈↓ 		␈εβ∩␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	)␈ε	x␈↓ 	:␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ 	y␈ε	w␈↓ 	⎇␈εβ∩␈↓ 
⊃␈εβ(␈↓ 
≥␈ε	x␈↓ 
.␈εβ)␈↓ 
E␈ε	v␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
b␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈ε↔␈α
⊃
␈β
∪␈↓ ↓T␈εβ∩␈↓ 	;␈εβ∩
␈β
_␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αz␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓T␈εβ∩␈↓ ↓T␈ε	v␈↓ ↓e␈εβ(␈↓ ↓p␈ε	x␈↓ α↓␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ αA␈εβ∩␈↓ αA␈ε	v␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	x␈↓ αo␈εβ)␈↓ βε␈ε	w␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	x␈↓ β;␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ ∧W␈ε	r␈↓ ∧e␈εβ).␈α⊗Th␈α}us␈α∞i␈α↓f␈↓ ε	␈ε	r␈↓ ε&␈εβis␈α∂p␈α␈rime,␈↓ π6␈ε	v␈↓ πH␈εβ(␈↓ πS␈ε	x␈↓ πd␈εβ)␈α∂m␈α␈u␈α␈st␈α∞divid␈α␈e␈↓ 	;␈εβ∩␈↓ 	;␈ε	v␈↓ 	L␈εβ(␈↓ 	W␈ε	x␈↓ 	i␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ 
(␈ε	v␈↓ 
)␈εβ∩␈↓ 
:␈εβ(␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
V␈εβ);␈α⊂bu␈α␈t
␈β
;␈↓ α¬␈εβ∩␈↓ ∧-␈εβ∩␈↓ ε#␈εβ∩
␈β
C␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈εβ∩␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α≥␈ε↔␈␈↓ αF␈ε	v␈↓ αG␈εβ∩␈↓ αX␈εβ)␈α	<␈↓ β⊗␈εβdeg␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	v␈↓ βe␈εβ),␈αso␈↓ ∧-␈εβ∩␈↓ ∧-␈ε	v␈↓ ∧>␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ)␈α	=␈↓ ¬~␈εβ∩␈↓ ¬~␈ε	v␈↓ ¬+␈εβ(␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬H␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ε∨␈ε	w␈↓ ε#␈εβ∩␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	x␈↓ εT␈εβ)␈α	=␈↓ π∪␈ε	w␈↓ π↔␈εβ∩␈↓ π+␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πH␈εβ).
␈β
k␈↓ α␈εβFor␈↓ αO␈ε	p␈↓ αp␈εβ=␈α⊂2,␈α⊃t␈α␈he␈α∂fact␈α␈orization␈α∞pro␈α␈ceed␈α␈s␈α∂as␈α∂foll␈α↓o␈α}ws␈α∂(␈α↓writin␈α␈g␈α∂on␈α␈l␈α↓y␈α∞the␈α∂co␈α␈e}cien␈α}ts,
␈β∞∞␈↓ 	N␈∧∞∞	Nα⊃␈↓ 	e␈∧∞∞	eα⊃␈↓ 	{␈∧∞∞	{α⊃
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∂u␈α␈sing␈α∂ba␈α␈rs␈α⊂fo␈α␈r␈α⊂n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α∂digits):␈α∀Ex␈α␈ercise␈α∂10␈α∂sa␈α␈ys␈α∂tha␈α␈t␈↓ λ>␈ε	v␈↓ λY␈εβ(␈↓ λd␈ε	x␈↓ λv␈εβ)␈α⊂=␈α⊃(␈↓ 	N␈εβ1␈↓ 	e␈εβ1␈↓ 	{␈εβ1␈↓ 
␈εβ),␈↓ 
0␈ε	w␈↓ 
S␈εβ(␈↓ 
↑␈ε	x␈↓ 
o␈εβ)␈α⊃=
␈β∞≥␈↓ λM␈εε1␈↓ 
F␈εε1
␈β∞6␈↓ ↓S␈∧∞6↓Sα⊃␈↓ ↓i␈∧∞6↓iα⊃␈↓ ↓␈␈∧∞6↓␈α⊃␈↓ αB␈∧∞6αBα⊃␈↓ αX␈∧∞6αXα⊃
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ1␈↓ ↓i␈εβ1␈↓ ↓␈␈εβ1␈↓ α∃␈εβ0␈αε0␈↓ αB␈εβ1␈↓ αX␈εβ1␈↓ αi␈εβ)␈αin␈αon␈α␈e-b␈α␈i␈α↓t␈αt␈α␈w␈α␈o's␈αcom␈α␈pleme␈α␈n␈α␈t␈αno␈α␈tation␈α␈.␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algorith␈α␈m␈αyield␈α␈s
␈β∞]␈↓ πd␈εε2
␈β∞a␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞=␈α∂(1␈α¬0␈α¬0␈αε0␈α¬0␈α¬1),␈↓ βc␈ε	b␈↓ βp␈εβ(␈↓ β{␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α∂=␈α∂(1␈α¬0).␈α∃Th␈α␈e␈α∞facto␈α␈r␈↓ ε\␈ε	v␈↓ εm␈εβ(␈↓ εx␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α∂=␈↓ πS␈ε	x␈↓ πz␈εβ+␈↓ λ%␈ε	c␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λY␈εβ+␈↓ 	β␈ε	c␈↓ 	*␈εβm␈α␈ust␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε↔␈α∂j␈↓ 
[␈ε	c␈↓ 
s␈ε↔j␈α∂∀
␈β∞l␈↓ λ1␈εε1␈↓ 	∂␈εε0␈↓ 
g␈εε1
␈β∂β␈↓ α1␈∧∂βα1α2
␈β∂∧␈↓ α⊂␈ε↔p
␈β∂	␈↓ ↓H␈ε↔b␈εβ1␈α∧+␈↓ α1␈εβ1␈α␈13␈↓ αc␈ε↔c␈εβ␈α	=␈α
1␈α␈1,␈ε↔␈α	j␈↓ βa␈ε	c␈↓ βy␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α	10,␈α	by␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈α	20␈α␈.␈αThre␈α␈e␈α	ap␈α␈plicatio␈α␈ns␈α	of␈α	He␈α␈nsel's␈α	lemma␈αλyield
␈β∂∀␈↓ βm␈εε0
␈β∂-␈↓ αw␈∧∂-αwα⊃␈↓ ∧H␈∧∂-∧Hα⊃␈↓ ∧↑␈∧∂-∧↑α⊃␈↓ ∧u␈∧∂-∧uα⊃␈↓ ¬!␈∧∂-¬!α⊃
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α
=␈α(1␈α¬3␈↓ αw␈εβ1␈↓ βλ␈εβ),␈↓ β(␈ε	w␈↓ βJ␈εβ(␈↓ βU␈ε	x␈↓ βg␈εβ)␈α
=␈α
(1␈↓ ∧H␈εβ3␈↓ ∧↑␈εβ5␈↓ ∧u␈εβ4␈↓ ¬␈εβ4␈↓ ¬!␈εβ3␈↓ ¬7␈εβ5).␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ε=␈ε	c␈↓ ε←␈ε↔⊃␈εβ␈α
3␈αa␈α␈nd␈↓ πh␈ε	c␈↓ λ
␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ␈α↓1␈α	(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈6);␈αth␈α␈e␈αo␈α␈nly
␈β∂;␈↓ ↓V␈εε4␈↓ β>␈εε4␈↓ εI␈εε1␈↓ πt␈εε0
␈β∂T␈↓ ¬a␈εε2
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αqu␈α␈ad␈α␈ratic␈α
fa␈α␈ctor␈αof␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ∧y␈εβ(␈↓ ¬∧␈ε	x␈↓ ¬∃␈εβ)␈α
is␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ¬v␈εβ+␈α	3␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εK␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α⊂Division␈αfails,␈α
so␈↓ 	∨␈ε	u␈↓ 	3␈εβ(␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 	O␈εβ)␈α
is␈α
irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le.
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈εα(
␈β⊂␈↓ ↓T␈εβS␈α␈ince␈απw␈α␈e␈αλh␈α␈av␈α␈e␈απno␈α}w␈αλpro␈α}v␈α␈ed␈απth␈α␈e␈αλirred␈α␈ucib␈α␈i␈α↓lity␈απof␈αλth␈α␈is␈αλbe␈α␈l␈α↓o␈α}v␈α␈ed␈απp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλb␈α␈y␈απfour␈απsep␈α␈arate
␈β⊂$␈↓ εg␈εα)
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈ds,␈αit␈αi␈α↓s␈αu␈α␈nlik␈α␈ely␈α
that␈αit␈αh␈α␈as␈αan␈α}y␈αfac␈α␈tors.
␈β⊂O␈↓ α␈εβHan␈α␈s␈α∞Zasse␈α␈nh␈α␈aus␈α
ha␈α␈s␈α∞ob␈α␈serv␈α}ed␈α
tha␈α␈t␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
ofte␈α␈n␈α∞s␈α␈peed␈α
u␈α␈p␈α
such␈α
c␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
by
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβin␈α␈creasin␈α␈g␈↓ αh␈ε	p␈↓ βλ␈εβas␈α⊂w␈α␈ell␈α⊂as␈↓ ∧+␈ε	q␈↓ ∧:␈εβ:␈α∃In␈α∂the␈α∂ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α∂no␈α␈tation␈α␈,␈α∩w␈α␈e␈α∂can␈α∂|␈α␈nd␈↓ λy␈ε	A␈↓ 	∂␈εβ(␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	,␈εβ),␈↓ 	Q␈ε	B␈↓ 	h␈εβ(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
∧␈εβ)␈α⊂su␈α␈ch␈α∂tha␈α␈t
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓↑␈εβ(␈↓ ↓i␈ε	x␈↓ ↓z␈εβ)␈↓ α¬␈ε	V␈↓ α≥␈εβ(␈↓ α(␈ε	x␈↓ α:␈εβ)␈αε+␈↓ αs␈ε	B␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	x␈↓ β%␈εβ)␈↓ β0␈ε	W␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ¬H␈ε	p␈↓ ¬Y␈ε	r␈↓ ¬h␈εβ),␈αn␈α␈am␈α␈ely␈α
by␈α	takin␈α␈g␈↓ λ⊂␈ε	A␈↓ λ&␈εβ(␈↓ λ1␈ε	x␈↓ λC␈εβ)␈α	=␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	x␈↓ 	/␈εβ)␈αε+␈↓ 	g␈ε	p␈↓ 	x␈εβ∩␈↓ 	x␈ε	a␈↓ 
	␈εβ(␈↓ 
∀␈ε	x␈↓ 
%␈εβ),␈↓ 
D␈ε	B␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα12␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα"␈↓ α>␈εβ∩␈↓ ¬'␈εβ∩
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓q␈εβ)␈α	+␈↓ α/␈ε	p␈↓ α@␈ε	b␈↓ αM␈εβ(␈↓ αY␈ε	x␈↓ αj␈εβ),␈α∞wh␈α␈ere␈↓ βn␈εβ∩␈↓ βn␈ε	a␈↓ β␈␈ε	a␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	x␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ∧7␈ε	V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α	+␈↓ ¬)␈ε	b␈↓ ¬6␈εβ(␈↓ ¬A␈ε	x␈↓ ¬R␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε	W␈↓ ¬␈␈εβ(␈↓ ε
␈ε	x␈↓ ε≠␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ εa␈ε	g␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π
␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ λ&␈ε	r␈↓ λ5␈εβ),␈↓ λW␈ε	a␈↓ λg␈εβ(␈↓ λr␈ε	x␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	∂␈ε	V␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	x␈↓ 	C␈εβ)␈α	+␈↓ 
↓␈ε	b␈↓ 
∞␈εβ(␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
+␈εβ)␈↓ 
6␈ε	W␈↓ 
W␈εβ(␈↓ 
b␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈ε↔␈α
⊃
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α∧␈␈↓ αβ␈ε	p␈↓ α∀␈ε	g␈↓ α$␈εβ(␈↓ α/␈ε	x␈↓ α@␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ βV␈ε	p␈↓ βg␈ε	r␈↓ βv␈εβ).␈αWe␈α	ca␈α␈n␈α	also␈α	|␈α␈nd␈↓ ε
␈ε	C␈↓ ε.␈εβwi␈α↓th␈↓ εx␈ε	#␈↓ πε␈εβ(␈↓ π⊃␈ε	V␈↓ π)␈εβ)␈↓ π4␈ε	C␈↓ πX␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	/␈ε	r␈↓ 	>␈εβ).␈αIn␈αλthis␈α	way␈α	w␈α␈e
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αlif␈α↓t␈αa␈αsqu␈α␈are␈α␈f␈α↓re␈α␈e␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ ¬7␈ε	u␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ ε'␈ε	v␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε	x␈↓ εU␈εβ)␈↓ ε`␈ε	w␈↓ εy␈εβ(␈↓ π∧␈ε	x␈↓ π⊗␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λ,␈ε	p␈↓ λ=␈εβ)␈αto␈αi␈α↓ts␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αe␈α␈xten␈α␈sion␈α␈s
␈ββ≥␈↓ αQ␈εε2␈↓ βε␈εε4␈↓ β:␈εε8␈↓ βo␈εε1␈α␈6
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α@␈ε	p␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αu␈ε	p␈↓ β∩␈εβ,␈↓ β)␈ε	p␈↓ βG␈εβ,␈↓ β↑␈ε	p␈↓ ∧λ␈εβ,␈α∞etc␈α␈.␈α∩Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞this␈α
\a␈α␈ccelera␈α␈ted"␈αpro␈α␈cedu␈α␈re␈α
rea␈α␈ches␈α
a␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈ββI␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iminishin␈α␈g␈α
retu␈α␈rns␈α
in␈α
p␈α␈ractice,␈α
as␈α
soo␈α␈n␈α
as␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈et␈α
to␈α
do␈α␈ub␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sion␈α	mod␈α␈uli,␈αsin␈α␈ce␈α
the
␈ββp␈↓ ↓H␈εβtime␈αεfor␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αεm␈α␈ultipre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απin␈απp␈α␈ract␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈απran␈α␈ges␈απou␈α␈t␈α␈w␈α␈eigh␈α␈s␈απthe␈απa␈α␈dv␈α␈an␈α}tage
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
squa␈α␈ring␈α
th␈α␈e␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓u␈α␈s␈α
direc␈α␈tl␈α↓y␈α␈.␈α⊃From␈α
a␈αcomp␈α␈uta␈α␈tiona␈α␈l␈α∞st␈α␈and␈α␈po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
it␈α
seems␈α
b␈α␈est␈α
to
␈β∧;␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε↔␈εε4␈↓ εJ␈εε8␈↓ π?␈εE␈↓ πx␈εE␈↓ λ
␈εε+␈↓ λ#␈εe␈↓ λT␈εE␈↓ λf␈εε+␈α↓2␈↓ 	␈εe␈↓ 	=␈εE␈↓ 	P␈εε+3␈↓ 	u␈εe
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rk␈αwith␈αt␈α␈he␈αsu␈α␈ccessiv␈α}e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈↓ ¬-␈ε	p␈↓ ¬>␈εβ,␈↓ ¬S␈ε	p␈↓ ¬q␈εβ,␈↓ εε␈ε	p␈↓ ε$␈εβ,␈↓ ε9␈ε	p␈↓ εW␈εβ,␈↓ εl␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π→␈εβ,␈↓ π.␈ε	p␈↓ πQ␈εβ,␈↓ πg␈ε	p␈↓ λ.␈εβ,␈↓ λC␈ε	p␈↓ 	↔␈εβ,␈↓ 	,␈ε	p␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
⊗␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
B␈εβ,␈αwhere
␈β∧c␈↓ ¬L␈εE
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε	E␈↓ ↓k␈εβis␈αthe␈αsm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈α
2␈αwi␈α↓th␈↓ ¬;␈ε	p␈↓ ¬k␈εβg␈α␈reate␈α␈r␈αthan␈αsingle␈αp␈α␈recision␈αa␈α␈nd␈↓ 	V␈ε	e␈↓ 	o␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αlarges␈α␈t
␈β¬
␈↓ β[␈εe
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ βJ␈ε	p␈↓ βq␈εβh␈α␈as␈αsin␈α␈gle␈αpre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈β¬8␈↓ α␈εβHen␈α␈sel'␈α↓s␈α
l␈α↓em␈α␈ma,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αh␈α␈e␈αin␈α␈tro␈α␈du␈α␈ced␈α
i␈α↓n␈α
ord␈α␈er␈αto␈α
dem␈α␈on␈α␈strate␈αt␈α␈he␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	the␈α	|e␈α␈l␈α↓d␈α	o␈α␈f␈↓ ∧i␈ε	p␈↓ ∧z␈εβ-ad␈α␈ic␈α
n␈α}um␈α}bers␈α	(see␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
4␈α␈.1↑3␈α␈1),␈α
can␈α	b␈α␈e␈α	gen␈α␈eralized␈α	in
␈βεπ␈↓ ↓H␈εβse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αwa␈α␈ys.␈αFirst,␈α
i␈α↓f␈α
th␈α␈ere␈α	are␈α
mo␈α␈re␈α
fac␈α␈tors,␈α
say␈↓ π∀␈ε	u␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	x␈↓ πE␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ λ∧␈ε	v␈↓ λ∨␈εβ(␈↓ λ*␈ε	x␈↓ λ;␈εβ)␈↓ λG␈ε	v␈↓ λb␈εβ(␈↓ λm␈ε	x␈↓ λ}␈εβ)␈↓ 		␈ε	v␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	x␈↓ 	A␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
W␈ε	p␈↓ 
h␈εβ),␈αw␈α␈e
␈βε⊃␈↓ λ∩␈εε1␈↓ λU␈εε2␈↓ 	_␈εε3
␈βε.␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈απ|␈α␈nd␈↓ α?␈ε	a␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αx␈εβ),␈↓ β∀␈ε	a␈↓ β0␈εβ(␈↓ β<␈ε	x␈↓ βM␈εβ),␈↓ βi␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈απsuc␈α␈h␈απtha␈α␈t␈↓ ¬@␈ε	a␈↓ ¬\␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬y␈εβ)␈↓ ε∧␈ε	v␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε*␈ε	x␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εG␈ε	v␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε	x␈↓ ε␈␈εβ)␈αα+␈↓ π/␈ε	a␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε	x␈↓ πh␈εβ)␈↓ πs␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ~␈ε	x␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε	v␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	x␈↓ λn␈εβ)␈αα+␈↓ 	∨␈ε	a␈↓ 	;␈εβ(␈↓ 	F␈ε	x␈↓ 	W␈εβ)␈↓ 	b␈ε	v␈↓ 	}␈εβ(␈↓ 
	␈ε	x␈↓ 
~␈εβ)␈↓ 
%␈ε	v␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1
␈βε9␈↓ αO␈εε1␈↓ β$␈εε2␈↓ βy␈εε3␈↓ ¬P␈εε1␈↓ ε∪␈εε2␈↓ εV␈εε3␈↓ π?␈εε2␈↓ λα␈εε1␈↓ λE␈εε3␈↓ 	.␈εε3␈↓ 	q␈εε1␈↓ 
4␈εε2
␈βεS␈↓ ¬≠␈εα(
␈βεV␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈↓ α{␈εβd␈α␈eg␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	a␈↓ βR␈εβ)␈α<␈↓ ∧∃␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ).␈↓ ¬'␈εβIn␈αe␈α␈ssenc␈α␈e,␈α
1/␈↓ εo␈ε	u␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈αis␈α
e␈α␈xp␈α␈an␈α␈ded␈αi␈α↓n␈αpart␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈s
␈βε`␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βεa␈↓ βG␈εi␈↓ ∧`␈εi
␈βε{␈↓ β⊂␈εα)
␈βε}␈↓ ↓s␈ε	a␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε	x␈↓ α*␈εβ)/␈↓ αF␈ε	v␈↓ α←␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈α↓.␈↓ β,␈εβAn␈απex␈α␈actly␈απan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈αλco␈α␈nstru␈α␈ction␈απn␈α␈o␈α␈w␈αλa␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈απus␈απto␈απl␈α↓ift␈απthe␈απfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βπλ␈↓ αβ␈εi␈↓ αT␈εi
␈βπ%␈↓ ↓H␈εβwith␈α␈out␈α¬cha␈α␈ngin␈α␈g␈αεth␈α␈e␈αεlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αεc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αεof␈↓ ε,␈ε	v␈↓ εM␈εβan␈α␈d␈↓ π	␈ε	v␈↓ π$␈εβ;␈αλw␈α␈e␈αεta␈α␈k␈α␈e␈↓ λ$␈εβ∩␈↓ λ%␈ε	v␈↓ λ@␈εβ(␈↓ λK␈ε	x␈↓ λ\␈εβ)␈α
=␈↓ 	≠␈ε	a␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	T␈εβ)␈↓ 	←␈ε	f␈↓ 	o␈εβ(␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈↓ 
≤␈εβmo␈α␈d␈↓ 
`␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈βπ0␈↓ ε:␈εε1␈↓ π↔␈εε2␈↓ λ3␈εε1␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
o␈εε1
␈βπM␈↓ ↓G␈εβ∩␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α=␈↓ αB␈ε	a␈↓ α↑␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈↓ βε␈ε	f␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈↓ βC␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧π␈ε	v␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ),␈α
etc.␈α∂An␈α␈oth␈α␈er␈αi␈α↓m␈α␈por␈α␈tan␈α␈t␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αis␈αto␈αsev␈α␈e␈α␈ral␈α
sim␈α␈u␈α␈l-
␈βπW␈↓ ↓V␈εε2␈↓ αR␈εε2␈↓ ∧⊗␈εε2
␈βπp␈↓ ε⊗␈εe␈↓ π-␈εn␈↓ 	
␈εn
␈βπt␈↓ ↓H␈εβta␈α␈neo␈α␈us␈α	m␈α␈odu␈α␈li␈α↓,␈α	of␈α	the␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈α	for␈α␈ms␈↓ ε¬␈ε	p␈↓ ε!␈εβ,␈α
(␈↓ ε?␈ε	x␈↓ ε←␈ε↔␈␈↓ π¬␈ε	a␈↓ π!␈εβ)␈↓ πH␈εβ,␈↓ πZ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λπ␈εβ,␈α
(␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λB␈ε↔␈␈↓ λh␈ε	a␈↓ 	↓␈εβ)␈↓ 	&␈εβ,␈α	w␈α↓h␈α␈en␈αλperfo␈α␈rming
␈βπw␈↓ 	≤␈ε
t
␈βπx␈↓ π<␈επ2
␈βπ␈␈↓ εN␈εε2␈↓ π∃␈εε2␈↓ λ4␈εt␈↓ λx␈εt
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultivaria␈α␈te␈αgcd␈α␈s␈αan␈α␈d␈αfacto␈α␈rization␈α␈s.␈αCf.␈αD.␈αY.␈αY␈α↓.␈αYu␈α␈n,␈αP␈α↓h␈α␈.D.␈αTh␈α␈esis␈α(M.I.␈α↓T.,␈α19␈α␈74).
␈βλR␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ¬!␈εα)
␈βλU␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α
d␈α␈iscrimina␈α␈n␈α␈t␈α
of␈α
pp␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ∧y␈εβ(␈↓ ¬∧␈ε	x␈↓ ¬⊗␈εβ)␈↓ ¬7␈εβis␈αa␈α	non␈α␈zero␈α
in␈α}teger␈α
(cf.␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
4.6.1↑␈α␈12),␈αa␈α␈nd␈α	there
␈βλy␈↓ λ>␈εα(
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
m␈α␈ultiple␈α
fact␈α␈ors␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ∧b␈ε	p␈↓ ∧⎇␈εβi{␈↓ ¬%␈ε	p␈↓ ¬@␈εβdivid␈α␈es␈α
the␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.␈↓ λJ␈εβTh␈α␈e␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α
of␈α
(21␈α␈)
␈β	 ␈↓ β|␈εε2␈↓ ¬∪␈εε2␈↓ ¬<␈εε3␈↓ ελ␈εε2
␈β	$␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
3␈α
i␈α↓s␈α
(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β≤␈εβ+␈απ1)(␈↓ βk␈ε	x␈↓ ∧∂␈ε↔␈␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ¬π␈εβ)␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬*␈ε	x␈↓ ¬O␈εβ+␈↓ ¬w␈ε	x␈↓ ε≠␈ε↔␈␈↓ εC␈ε	x␈↓ ε[␈εβ+␈απ1␈α␈);␈αsqu␈α␈ared␈α
fac␈α␈tors␈α
for␈α
this␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β	K␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈r␈αλonly␈αλfo␈α␈r␈↓ β∃␈ε	p␈↓ β0␈εβ=␈α	3,␈α	2␈α␈3,␈α	23␈α␈3␈αλan␈α␈d␈αλ1␈α␈217␈α␈024␈α␈57.␈α
It␈αλis␈α	n␈α␈ot␈αλd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αλto␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλtha␈α␈t␈α	t␈α␈he␈αλsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t
␈β	s␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α∞th␈α␈at␈α
i␈α↓s␈α
no␈α␈t␈α∞u␈α␈nluc␈α␈ky␈α
is␈α∞at␈α
most␈↓ ¬z␈ε	O␈↓ ε∩␈εβ(␈↓ ε≥␈ε	n␈↓ ε7␈εβlog␈↓ εg␈ε	N␈↓ πε␈ε	n␈↓ π~␈εβ),␈α∂if␈↓ π←␈ε	n␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ/␈εβde␈α␈g␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	u␈↓ 	␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ 	\␈ε	N␈↓ 
	␈εβb␈α␈oun␈α␈ds␈α
the
␈β
_␈↓ β[␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αof␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β*␈εβ(␈↓ β5␈ε	x␈↓ βF␈εβ)␈α↓.
␈β
S␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
a␈αmon␈α␈ic␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α
with␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
b␈α␈y␈α
a␈αsuita␈α␈ble␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α
in␈α␈-
␈β
{␈↓ ↓H␈εβte␈α␈ger,␈αto␈α
get␈αa␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αo␈α␈v␈α}er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αFacto␈α␈r␈αthis␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αthe
␈β"␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers,␈α	and␈αλthe␈α␈n␈α	con␈α}v␈α␈ert␈α	th␈α␈e␈α	facto␈α␈rs␈α	ba␈α␈ck␈α	to␈α	m␈α␈onic.␈α∀(No␈α	facto␈α␈rization␈α␈s␈α	are␈α	lost␈α	in␈α	th␈α␈is
␈βJ␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y;␈αsee␈αex␈α}ercise␈α4.6␈α␈.␈α↓1␈α␈↑8.)
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβCon␈α␈sidera␈α␈tion␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈α
term␈αsho␈α␈ws␈α
th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
no␈αf␈α↓a␈α␈ctors␈α
o␈α␈f␈α
deg␈α␈ree␈α
1,␈α
so␈α
if
␈β*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈α
is␈α
r␈α␈edu␈α␈cible,␈α
it␈α
m␈α}ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈αone␈αfac␈α␈tor␈αof␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈α
2␈αa␈α␈nd␈αon␈α␈e␈αof␈α
d␈α␈egr␈α␈ee␈α
3␈α␈.
␈βN␈↓ ¬;␈εε2␈↓ ¬d␈εε2
␈βR␈↓ ↓H␈εβM␈α␈od␈α␈ulo␈α2␈αth␈α␈e␈α
fa␈α␈ctors␈αar␈α␈e␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧v␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬0␈εβ)␈↓ ¬G␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬y␈εβ+␈↓ ε"␈ε	x␈↓ ε<␈εβ+␈αλ1);␈α
this␈αis␈α
n␈α␈ot␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αh␈α␈elp.␈α∂M␈α␈odu␈α␈lo␈α3␈αthe
␈βu␈↓ βR␈εε2␈↓ β{␈εε3␈↓ πi␈εε2␈↓ 	≥␈εε3
␈βy␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctors␈α
are␈α
(␈↓ αv␈ε	x␈↓ β∞␈εβ+␈απ2␈↓ βG␈εβ)␈↓ β←␈εβ(␈↓ βj␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ+␈απ2␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧←␈εβ+␈απ2).␈αMod␈α␈ulo␈α
5␈α
they␈α
a␈α␈re␈α(␈↓ πX␈ε	x␈↓ π|␈εβ+␈↓ λ$␈ε	x␈↓ λ=␈εβ+␈απ1␈α␈)(␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	0␈εβ+␈απ4␈↓ 	i␈ε	x␈↓ 
↓␈εβ+␈απ2).␈αS␈α␈o␈αw␈α␈e
␈β
≥␈↓ ∧+␈εε2␈↓ ¬a␈εε3
␈β
!␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αthe␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αis␈α(␈↓ ∧→␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ¬␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓(␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ¬u␈ε↔␈␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε7␈εβ+␈απ2).
␈β
Z␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβBegin␈α∞with␈↓ β;␈ε	D␈↓ βd␈ε↔ ␈εβ␈α∂(0␈↓ ∧5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧b␈εβ01␈α␈),␈α⊂rep␈α␈resen␈α}ti␈α↓n␈α␈g␈α∞the␈α∞set␈ε↔␈α∂f␈εβ␈α␈0␈ε↔g␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈α∞for␈α∞1␈ε↔␈α∂∀␈↓ 
∞␈ε	j␈↓ 
,␈ε↔∀␈↓ 
\␈ε	r␈↓ 
k␈εβ,␈α⊂se␈α␈t
␈β∞↓␈↓ ↓H␈ε	D␈↓ ↓k␈ε↔ ␈↓ α⊗␈ε	D␈↓ α7␈ε↔←␈εβ␈αλ(␈↓ αb␈ε	D␈↓ ββ␈ε↔-␈↓ β≠␈ε	d␈↓ β7␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈ε↔␈α←␈εβ␈αde␈α␈no␈α␈tes␈αlog␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈α\o␈α␈r"␈αand␈↓ πH␈ε	D␈↓ πh␈ε↔-␈↓ λ↓␈ε	d␈↓ λ∨␈εβd␈α␈eno␈α␈tes␈↓ 	_␈ε	D␈↓ 	<␈εβshifted␈αleft␈↓ 
f␈ε	d␈↓ ∧␈εβb␈α␈it
␈β∞␈↓ β*␈εj
␈β∞&␈↓ αk␈εα(
␈β∞)␈↓ ↓H␈εβp␈α␈osition␈α␈s.␈↓ αw␈εβAc␈α␈tually␈αw␈α␈e␈αn␈α␈eed␈αo␈α␈nly␈αw␈α␈ork␈αwith␈αa␈αbit␈αv␈α}ecto␈α␈r␈αof␈αl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈ε↔␈αd␈εβ(␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ+␈αλ1)/2␈ε↔␈α␈e␈εβ,␈αsince
␈β∞M␈↓ ∧Z␈εα)
␈β∞P␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓c␈ε↔␈␈↓ α␈ε	m␈↓ α4␈εβis␈αi␈α↓n␈α
the␈αse␈α␈t␈αi␈α↓{␈↓ ∧∩␈ε	m␈↓ ∧;␈εβis.
␈β∂	␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβEx␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	4␈α	say␈α␈s␈α
t␈α␈hat␈α	a␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
of␈α	deg␈α␈ree␈↓ π|␈ε	n␈↓ λ~␈εβis␈α	i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α
m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 
Q␈ε	p␈↓ 
l␈εβwith
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβra␈α␈the␈α␈r␈αlo␈α␈w␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity,␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α1/␈↓ ¬∨␈ε	n␈↓ ¬3␈εβ.␈α
Bu␈α␈t␈αth␈α␈e␈αCh␈α␈inese␈αrema␈α␈ind␈α␈er␈αth␈α␈eore␈α␈m␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈αa
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αmon␈α␈ic␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αof␈αd␈α␈egree␈↓ ¬a␈ε	n␈↓ ε↓␈εβo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwill␈αbe␈αredu␈α␈cible␈αwi␈α↓th␈αre␈α␈spec␈α␈t
␈β∂|␈↓ λ+␈εk
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβto␈αλeac␈α␈h␈α	o␈α␈f␈↓ α\␈ε	k␈↓ αv␈εβd␈α␈istinct␈α	p␈α␈rimes␈α	with␈αλpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αλab␈α␈ou␈α␈t␈α	(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α¬1/␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ∨␈εβ)␈↓ λ8␈εβ,␈α	and␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλapp␈α␈roa␈α␈che␈α␈s␈α	zero
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈↓ ↓q␈ε	k␈↓ α
␈ε↔!␈α
1␈εβ␈α↓.␈αHe␈α␈nce␈αa␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈gers␈αare␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αwith␈αre␈α␈spec␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβto␈αin|␈α␈nitely␈αman␈α}y␈αprimes␈α␈;␈α∞an␈α␈d␈α
a␈α␈lmost␈αall␈α
primitiv␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
o␈α}v␈α␈er␈α
t␈α␈he␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
are
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le.␈α↔[Anoth␈α␈er␈α
p␈α␈roof␈α
h␈α␈as␈α
be␈α␈en␈α
giv␈α}en␈α
b␈α␈y␈α
W.␈αS␈α␈.␈α
B␈α↓ro␈α}wn,␈ε⊂␈α
A␈α↓M␈α␈M␈ε∪␈α
7␈α␈0␈εβ␈α
(196␈α␈3),␈α9␈α␈65↑␈α␈969␈α␈.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
the␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈αc␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α33␈α␈.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ λ␈εα13
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβFalse,␈αw␈α␈e␈αl␈α↓o␈α␈se␈αall␈↓ ∧␈ε	p␈↓ ∧3␈εβwith␈↓ ∧␈␈ε	e␈↓ ¬"␈εβdiv␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ εV␈ε	p␈↓ εg␈εβ.␈αTru␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ πl␈ε	p␈↓ λε␈ε↔∃␈↓ λ0␈εβdeg␈↓ λb␈εβ(␈↓ λn␈ε	u␈↓ 	α␈εβ).
␈βα5␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ¬␈εj
␈βαX␈↓ ¬3␈ε~0
␈βαY␈↓ ∧N␈εα(␈↓ ¬a␈εα)
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβCom␈α␈pu␈α␈te␈↓ β∨␈ε	V␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈α
=␈↓ ∧≤␈εβgcd␈↓ ∧Z␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ),␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬E␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ)␈↓ ¬m␈εβ;␈α
t␈α␈his␈αis␈αlegitimate␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ λT␈ε	v␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	x␈↓ 	␈εβ)␈αi␈α↓s␈αrelativ␈α␈ely␈αprime
␈βαf␈↓ β1␈εε1␈↓ λc␈εε1
␈βα␈␈↓ α↓␈ε~0
␈βββ␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ αλ␈εβ(␈↓ α∪␈ε	x␈↓ α$␈εβ)/␈↓ α@␈ε	v␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	x␈↓ αx␈εβ).␈αLet␈↓ βS␈ε	v␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α
=␈↓ ∧J␈ε	v␈↓ ∧\␈εβ(␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ∧x␈εβ)/␈↓ ¬∀␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬L␈εβ),␈αth␈α␈e␈α
(␈α↓sq␈α␈ua␈α␈refree)␈α
prod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈α
all␈αirredu␈α␈cible␈α
factor␈α␈s
␈ββ∞␈↓ αN␈εε1␈↓ βb␈εε0␈↓ ¬"␈εε1
␈ββ(␈↓ ¬ε␈εα(␈↓ ε ␈εα)
␈ββ+␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ αα␈εβ(␈↓ α
␈ε	x␈↓ α≡␈εβ).␈α⊃Co␈α␈mpu␈α␈te␈↓ βW␈ε	d␈↓ βs␈εβ(␈↓ β}␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ)␈α
=␈↓ ∧T␈εβgcd␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬&␈εβ(␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ),␈↓ ¬]␈ε	v␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ)␈↓ ε8␈εβand␈↓ ε{␈ε	u␈↓ π≠␈εβ(␈↓ π&␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈α=␈↓ π|␈ε	u␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ,␈εβ)␈α↓/␈↓ λH␈ε	d␈↓ λd␈εβ(␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	↓␈εβ).␈α⊃If␈↓ 	I␈εβd␈α␈eg␈↓ 	{␈εβ(␈↓ 
ε␈ε	d␈↓ 
!␈εβ)␈α
>␈α0␈α
fo␈α␈r
␈ββ6␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬k␈εε0␈↓ π∞␈εε1␈↓ λX␈εε1␈↓ 
∃␈εj
␈ββJ␈↓ β?␈εβ∩␈↓ λ6␈εβ∩
␈ββP␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ε4␈εα)␈↓ λ*␈εα(␈↓ 	u␈εα)
␈ββS␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓c␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈,␈α∞co␈α␈mp␈α␈ute␈↓ β?␈ε	d␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≥␈εβ)␈α=␈↓ ∧b␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬ ␈ε	d␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬F␈ε	x␈↓ ¬X␈εβ),␈↓ ¬q␈ε	v␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	x␈↓ ε)␈εβ)␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εV␈ε	d␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	x␈↓ π4␈εβ)␈α=␈↓ πx␈εβgcd␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λx␈εβ(␈↓ 	β␈ε	x␈↓ 	∀␈εβ),␈↓ 	.␈ε	u␈↓ 	M␈εβ(␈↓ 	X␈ε	x␈↓ 	j␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	v␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	x␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈ββ]␈↓ βO␈εj␈↓ β[␈εε+1␈↓ ¬/␈εj␈↓ ε␈εj␈↓ εf␈εj␈↓ εr␈εε+1␈↓ λF␈εj␈↓ λR␈εε+1␈↓ 	A␈εj␈↓ 
&␈εj␈↓ 
2␈εε+1
␈ββr␈↓ α~␈εβ∩
␈ββz␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓b␈εβ(␈↓ ↓m␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)/␈↓ α≠␈ε	d␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αx␈εβ)␈α↓,␈↓ β_␈ε	u␈↓ β]␈εβ(␈↓ βh␈ε	x␈↓ βy␈εβ)␈α	=␈↓ ∧8␈ε	u␈↓ ∧W␈εβ(␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ)/␈↓ ¬∂␈ε	d␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ);␈αbu␈α␈t␈αif␈αde␈α␈g(␈↓ π%␈ε	d␈↓ πA␈εβ)␈α
=␈α	0,␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α
the␈α
com␈α␈pu␈α␈tation
␈β∧¬␈↓ ↓V␈εj␈↓ α*␈εj␈↓ α6␈εε+1␈↓ β+␈εj␈↓ β7␈εε+1␈↓ ∧K␈εj␈↓ ¬∨␈εj␈↓ ¬+␈εε+1␈↓ π5␈εε1
␈β∧∨␈↓ ¬n␈εα(
␈β∧"␈↓ ↓H␈εβwith␈απth␈α␈e␈απan␈α␈sw␈α␈er␈↓ β/␈ε	d␈↓ βB␈εβ(␈↓ βM␈ε	x␈↓ β↑␈εβ)␈α
=␈↓ ∧≥␈ε	d␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈ε	x␈↓ ∧V␈εβ)␈↓ ∧f␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∪␈ε	d␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ).␈↓ εα␈εβIn␈απt␈α␈his␈απmeth␈α␈od,␈↓ πb␈ε	d␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λ	␈ε	x␈↓ λ~␈εβ)␈απi␈α↓s␈απth␈α␈e␈απsqu␈α␈arefree␈απp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈αλo␈α␈f
␈β∧,␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬"␈εj␈↓ πq␈εj
␈β∧F␈↓ π∂␈εα(␈↓ λ≡␈εα)
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	fa␈α␈ctors␈α	th␈α␈at␈α	o␈α␈ccur␈ε↔␈α	∃␈↓ ¬I␈ε	j␈↓ ¬a␈εβtimes␈α	in␈↓ ε]␈εβgc␈α␈d␈↓ π≠␈ε	u␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	x␈↓ πK␈εβ),␈↓ πe␈ε	v␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	x␈↓ λ∪␈εβ)␈↓ λ*␈εβ.␈αTh␈α␈ere␈α	are␈α	s␈α␈ev␈α␈era␈α␈l␈α
wa␈α␈ys␈α	to
␈β∧q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈απred␈α␈un␈α␈dan␈α}t␈αλcalcu␈α␈lation␈α␈s;␈α
fo␈α␈r␈αλex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α	the␈απsame␈↓ π9␈ε	p␈↓ πQ␈εβcan␈απbe␈αλu␈α␈sed␈απi␈α↓n␈απth␈α␈e␈αλun␈α␈de␈α␈rl␈α↓y␈α␈ing␈απgcd
␈β¬→␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α
gcd␈α
r␈α␈outin␈α␈e␈αs␈α␈hou␈α␈ld␈α
retu␈α␈rn␈α
the␈α
v␈α␈alues␈α
of␈↓ λX␈ε	u␈↓ λl␈εβ(␈↓ λw␈ε	x␈↓ 		␈εβ)/␈↓ 	$␈ε	d␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	S␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 
)␈ε	v␈↓ 
:␈εβ(␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
W␈εβ)/␈↓ 
r␈ε	d␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β¬@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αit␈α
co␈α␈mp␈α␈utes.␈α∂Furt␈α␈herm␈α␈ore␈αthe␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈αis␈αun␈α␈sym␈α␈metric␈αin␈↓ 	,␈ε	u␈↓ 	M␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∂␈ε	v␈↓ 
 ␈εβ;␈α∞it␈αseem␈α␈s
␈β¬h␈↓ ↓H␈εβb␈α␈etter␈α
to␈α∞in␈α␈te␈α␈rcha␈α␈nge␈α
the␈α
r␈↓ ∧V␈εβ∂␈↓ ∧V␈εβo␈↓ ∧g␈εβles␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬C␈ε	u␈↓ ¬e␈εβan␈α␈d␈↓ ε)␈ε	v␈↓ εH␈εβif␈↓ εj␈εβde␈α␈g␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π'␈ε	u␈↓ π;␈εβ)␈α∞>␈↓ λβ␈εβdeg␈↓ λ5␈εβ(␈↓ λ@␈ε	v␈↓ λR␈εβ)␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α
be␈α␈ginn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞o␈α␈r␈α∞if
␈βε␈↓ ε?␈εα)
␈βε∂␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α$␈εβ)␈α	>␈↓ αc␈εβd␈α␈eg␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈ε	v␈↓ β;␈εβ)␈αwh␈α␈en␈αco␈α␈mp␈α␈uting␈↓ ¬L␈ε	d␈↓ ε∞␈εβ(␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε*␈εβ).
␈βε~␈↓ α_␈εj␈↓ β/␈εj␈↓ ¬\␈εj␈↓ ¬h␈εε+1
␈βε=␈↓ πV␈εn␈↓ 
E␈εε2␈↓ 
s␈εε2
␈βεA␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβCf.␈αλex␈α}ercise␈απ4;␈α	the␈απp␈α␈roba␈α␈bility␈απi␈α↓s␈απthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈t␈απof␈↓ πH␈ε	z␈↓ πn␈εβin␈↓ λ⊃␈εβ(1␈αλ+␈↓ λ]␈ε	a␈↓ 	π␈ε	z␈↓ 	∃␈εβ/␈↓ 	&␈ε	p␈↓ 	7␈εβ)␈↓ 	B␈εβ(1␈απ+␈↓ 
∞␈ε	a␈↓ 
7␈ε	z␈↓ 
R␈εβ/␈↓ 
c␈ε	p␈↓ ␈εβ)␈↓ ␈ε↔α
␈βεL␈↓ λm␈εε1␈↓ λy␈εp␈↓ 
≥␈εε2␈↓ 
*␈εp
␈βεd␈↓ αK␈εε3␈↓ αy␈εε3␈↓ 	O␈εε2␈↓ 
T␈εε3
␈βεe␈↓ 	1␈εε1␈↓ 
6␈εε1
␈βεi␈↓ ↓H␈εβ(1␈απ+␈↓ α∪␈ε	a␈↓ α=␈ε	z␈↓ αX␈εβ/␈↓ αh␈ε	p␈↓ βε␈εβ)␈↓ β↔␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βC␈εβ,␈α∞which␈αha␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
li␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
va␈α␈lue␈↓ π∞␈ε	g␈↓ π≡␈εβ(␈↓ π)␈ε	z␈↓ π6␈εβ)␈α
=␈↓ π|␈εβ(1␈απ+␈↓ λH␈ε	z␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈εβ(1␈απ+␈↓ 	A␈ε	z␈↓ 	[␈εβ)␈↓ 	f␈εβ(1␈αλ+␈↓ 
F␈ε	z␈↓ 
a␈εβ)␈↓ 
q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ #␈εβ.
␈βεs␈↓ α#␈εε3␈↓ α0␈εp
␈βεw␈↓ 	1␈∧εw	1α
␈↓ 
6␈∧εw
6α
␈βεy␈↓ 	1␈εε2␈↓ 
6␈εε3
␈βπ
␈↓ ¬]␈εε1␈↓ εε␈εε5␈↓ ε6␈εε7␈↓ εe␈εε37␈↓ π!␈εε79␈↓ π]␈εε173␈↓ λ ␈εε1␈α␈01␈↓ λb␈εε12␈α␈7␈↓ 	%␈εε1␈α␈03␈α␈3␈↓ 	␈␈εα(
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ αN␈ε	n␈↓ αl␈ε↔∀␈εβ␈α10␈αthe␈αan␈α␈swe␈α␈rs␈αare␈α1,␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ εL␈εβ,␈↓ πα␈εβ,␈↓ πD␈εβ,␈↓ λπ␈εβ,␈↓ λI␈εβ,␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	[␈εβ.␈↓ 
␈εβLet␈↓ 
H␈ε	f␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	y␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈βπ≡␈↓ ¬]␈∧π≡¬]α
␈↓ εε␈∧π≡εεα
␈↓ ε/␈∧π≡ε/α~␈↓ εe␈∧π≡εeα~␈↓ π≠␈∧π≡π≠α&␈↓ π]␈∧π≡π]α&␈↓ λ ␈∧π≡λ α&␈↓ λb␈∧π≡λbα&␈↓ 	%␈∧π≡	%α3
␈βπ ␈↓ ¬]␈εε2␈↓ εε␈εε6␈↓ ε/␈εε12␈↓ εe␈εε60␈↓ π≠␈εε12␈α␈0␈↓ π]␈εε280␈↓ λ ␈εε1␈α␈68␈↓ λb␈εε21␈α␈0␈↓ 	%␈εε1␈α␈68␈α␈0
␈βπ4␈↓ βy␈εε2
␈βπ8␈↓ ↓H␈εβln␈↓ ↓c␈εβ(1␈αλ+␈↓ α/␈ε	y␈↓ αB␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ α⎇␈ε	y␈↓ β→␈εβ=␈↓ βC␈ε	O␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	y␈↓ ∧¬␈εβ)␈α↓.␈αWe␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπb␈↓ ∧E␈ε↓P␈↓ ε→␈ε↓P
␈βπ|␈↓ ¬4␈εn␈↓ π$␈εn
␈βπ⎇␈↓ ∧9␈εα(␈↓ πd␈εα)
␈βλ␈↓ β≡␈ε	g␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	z␈↓ βF␈εβ)␈α	=␈↓ ∧¬␈εβex␈α␈p␈↓ ¬&␈ε	z␈↓ ¬E␈εβ/␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬q␈εβ+␈↓ ε{␈ε	f␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	z␈↓ π4␈εβ/␈↓ πE␈ε	n␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ=␈↓ λ$␈ε	h␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	z␈↓ λM␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	4␈ε	z␈↓ 	B␈εβ),
␈βλ∪␈↓ ∧k␈εn␈↓ ∧{␈ε~∃␈εε1␈↓ ε?␈εn␈↓ εP␈ε~∃␈εε1
␈βλ2␈↓ λP␈ε↓P
␈βλL␈↓ 
Z␈ε~␈␈↓ 
s␈ε␈
␈βλM␈↓ λD␈εα(␈↓ 

␈εα)
␈βλP␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απi␈α↓t␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλsho␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈αλlimiti␈α↓n␈α␈g␈αλp␈α␈rob␈α␈ability␈αλis␈↓ π%␈ε	h␈↓ π6␈εβ(1␈α␈)␈α
=␈↓ λ⊂␈εβexp␈↓ 	2␈ε	f␈↓ 	B␈εβ(1␈α␈/␈↓ 	n␈ε	n␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
"␈εβ=␈↓ 
M␈ε	e␈↓ ␈ε↔→
␈βλb␈↓ λv␈εn␈↓ 	ε␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βλ{␈↓ ↓H␈εβ.56␈α␈14␈α␈6␈α∂as␈↓ α`␈ε	n␈↓ β∧␈ε↔!␈α⊂1␈εβ␈α∂[␈α↓c␈α␈f.␈α⊂D.␈α∂H.␈α∂L␈α↓e␈α␈hme␈α␈r,␈ε⊂␈α⊃Acta␈α∞Ari␈α↓t␈α␈h.␈ε∪␈α∂21␈εβ␈α∂(1␈α␈972␈α␈),␈α⊃3␈α␈79↑␈α␈388␈α␈]␈α↓.␈α!In␈α␈dee␈α␈d,␈α⊂N.
␈β	∨␈↓ 	M␈ε~␈␈↓ 	f␈ε␈
␈↓ 
5␈ε~␈␈↓ 
O␈ε␈
␈β	#␈↓ ↓H␈εβG.␈α
de␈α
Bruijn␈α
ha␈α␈s␈α∞e␈α␈stab␈α␈l␈α↓ish␈α␈ed␈α
the␈α
asy␈α␈mp␈α␈totic␈α
form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈↓ πc␈εβlim␈↓ λW␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ=␈↓ 	@␈ε	e␈↓ 	}␈εβ+␈↓ 
(␈ε	e␈↓ 
]␈εβ/␈↓ 
n␈ε	n␈↓ ␈εβ+
␈β	.␈↓ λ⊃␈εp␈↓ λ∨␈ε~!1␈↓ λf␈εn␈↓ λw␈εp
␈β	G␈↓ ↓␈␈ε~␈␈εε2
␈β	H␈↓ ββ␈εα)
␈β	K␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	n␈↓ α*␈εβlog␈↓ αZ␈ε	n␈↓ αn␈εβ).
␈β	x␈↓ εD␈εd
␈β	|␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αcan␈αd␈α␈o␈αarith␈α␈metic␈αin␈αa␈α|␈α␈eld␈↓ ¬j␈ε	F␈↓ ε
␈εβo␈α␈f␈↓ ε4␈ε	p␈↓ ε↑␈εβelemen␈α}ts␈αby␈αlettin␈α␈g␈αthe␈αe␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ 
i␈ε	F␈↓ ␈εβbe
␈β
$␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α␈␈ε	s␈↓ β␈εβ(␈↓ β_␈ε	y␈↓ β*␈εβ),␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧<␈ε	p␈↓ ∧W␈εβa␈α␈nd␈αλmod␈α␈ulo␈α	a␈α␈n␈α␈y␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α	irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ 	j␈ε	q␈↓ 	y␈εβ(␈↓ 
∧␈ε	y␈↓ 
↔␈εβ)␈α	of␈α	d␈α␈egree
␈β
-␈↓ 	h␈ε↓Q
␈β
C␈↓ λ\␈ε
d
␈β
G␈↓ λN␈εp
␈β
K␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ ↓Z␈εβ.␈α⊃Sin␈α␈ce␈α
ev␈α}ery␈α
irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αfacto␈α␈r␈↓ ¬1␈ε	h␈↓ ¬B␈εβ(␈↓ ¬M␈ε	x␈↓ ¬↑␈εβ)␈α∞o␈α␈f␈↓ ε∨␈ε	g␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εK␈εβ)␈α∞is␈α
a␈αdivisor␈α
o␈α␈f␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	:␈εβ=␈↓ 

␈ε↔f␈↓ 
 ␈ε	s␈↓ 
6␈ε↔␈␈↓ 
`␈ε	s␈↓ 
n␈εβ(␈↓ 
y␈ε	y␈↓ ␈εβ)␈ε↔␈αj
␈β
s␈↓ ↓H␈ε	s␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓a␈ε	y␈↓ ↓s␈εβ)␈ε↔␈α∞2␈↓ α5␈ε	F␈↓ αQ␈ε↔g␈↓ αb␈εβ,␈↓ αz␈ε	h␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β'␈εβ)␈α∞m␈α␈ust␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε⊂␈α∞li␈α↓n␈α␈ear␈εβ␈α∞fac␈α␈tors␈α∞wh␈α␈en␈α∞reg␈α␈ard␈α␈ed␈α∞as␈α∞a␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ 
b␈ε	F␈↓ 
y␈εβ.␈α∀If
␈β∩␈↓ ε;␈ε
k
␈β↔␈↓ ∧Q␈εp␈↓ ε-␈εp
␈β_␈↓ ↓X␈εα(␈↓ α≠␈εα)␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧↑␈εα)
␈β≠␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓d␈ε	s␈↓ ↓r␈εβ(␈↓ ↓⎇␈ε	y␈↓ α∂␈εβ)␈↓ α0␈εβ=␈α	0␈α	th␈α␈en␈αλalso␈↓ β}␈ε	h␈↓ ∧~␈ε	s␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	y␈↓ ∧F␈εβ)␈↓ ∧t␈εβ=␈α	0␈α	a␈α␈nd␈↓ ¬v␈ε	s␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	y␈↓ ε"␈εβ)␈↓ εP␈ε↔≤␈↓ ε{␈ε	s␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	y␈↓ π&␈εβ)␈α	for␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ0␈ε	k␈↓ λJ␈εβ<␈↓ λt␈ε	d␈↓ 	π␈εβ;␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α	th␈α␈e␈α	co␈α␈mplete
␈β>␈↓ λπ␈ε
d␈↓ λ∀␈ε≠␈␈επ1
␈βB␈↓ ε)␈εp␈↓ πy␈εp
␈βC␈↓ ∧∃␈εα(␈↓ ¬→␈εα)(␈↓ ε7␈εα)␈↓ εu␈εα(␈↓ λ6␈εα)
␈βF␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ β1␈ε	h␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ)␈αis␈↓ ∧!␈ε	x␈↓ ∧:␈ε↔␈␈↓ ∧c␈ε	s␈↓ ∧p␈εβ(␈↓ ∧{␈ε	y␈↓ ¬∞␈εβ)␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬J␈ε↔␈␈↓ ¬s␈ε	s␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε␈ε	y␈↓ ε≡␈εβ)␈↓ εH␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π↓␈ε	x␈↓ π~␈ε↔␈␈↓ πB␈ε	s␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	y␈↓ πn␈εβ)␈↓ λB␈εβ.
␈βn␈↓ α␈εβTo␈α⊂|␈α␈nd␈α⊂a␈α∂f␈α↓a␈α␈ctor␈α⊂o␈α␈f␈↓ ∧?␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ),␈α∩|␈α␈nd␈α∂a␈α⊂roo␈α␈t␈↓ εD␈ε	s␈↓ εR␈εβ(␈↓ ε]␈ε	y␈↓ εp␈εβ)␈α⊂of␈↓ π7␈ε	g␈↓ πG␈εβ(␈↓ πR␈ε	x␈↓ πc␈εβ),␈α∩w␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂in␈↓ 	9␈ε	F␈↓ 	P␈εβ,␈α∩a␈α␈nd␈α∂comp␈α␈ute
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞b␈α␈y␈α∞e␈α␈va␈α␈l␈α↓u␈α␈ating␈α
the␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t.␈α∀To␈α∞|␈α␈nd␈α
a␈α∞roo␈α␈t␈↓ πu␈ε	s␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	y␈↓ λ ␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈↓ λc␈ε	g␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∂␈εβ)␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ 	s␈ε	F␈↓ 
␈εβ,␈α∂n␈α␈ote␈α
tha␈α␈t
␈β5␈↓ βw␈ε
d
␈β9␈↓ βa␈εε(␈↓ βj␈εp␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε1)/2
␈β:␈↓ ↓z␈εα(␈↓ ¬λ␈εα)
␈β=␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ αε␈ε	w␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α)␈ε	x␈↓ α;␈εβ),␈α(␈↓ αe␈ε	x␈↓ α|␈εβ+␈↓ β"␈ε	t␈↓ β-␈εβ(␈↓ β9␈ε	y␈↓ βK␈εβ)␈↓ βV␈εβ)␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓ ¬≥␈εβwil␈α↓l␈α	be␈αλa␈α	no␈α␈n␈α␈trivia␈α␈l␈α
fac␈α␈tor␈α	of␈↓ λ8␈ε	w␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	at␈α	least␈α	a␈α␈bou␈α␈t␈α	ha␈α␈lf␈α
o␈α␈f
␈βd␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
time,␈αwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ βg␈ε	w␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≤␈εβ)␈αh␈α␈as␈α
no␈α␈thing␈α
b␈α␈ut␈α
linea␈α␈r␈αfa␈α␈ctors␈α
o␈α␈v␈α}er␈↓ λ1␈ε	F␈↓ λI␈εβ,␈α
as␈α
i␈α↓n␈α	ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
1␈α␈4.␈αTh␈α␈u␈α␈s,
␈β
␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈α
with␈↓ αf␈ε	w␈↓ α}␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β↑␈ε	g␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧
␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α|n␈α␈d␈αa␈αno␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
fact␈α␈or␈↓ πA␈ε	f␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πm␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ λN␈ε	F␈↓ λe␈εβ;␈α
then␈αreplac␈α␈e␈↓ 
;␈ε	w␈↓ 
S␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
p␈εβ)␈αby
␈β
4␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈α
or␈α
by␈↓ α`␈ε	w␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β⊗␈εβ)/␈↓ β1␈ε	f␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ),␈α
whiche␈α␈v␈α␈er␈α
h␈α␈as␈α
smaller␈α
de␈α␈gree,␈α
an␈α␈d␈α
rep␈α␈eat␈α
un␈α}til␈↓ 	'␈ε	w␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	x␈↓ 	\␈εβ)␈α
has␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈α1␈α␈.
␈β
X␈↓ 	L␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β
[␈↓ α␈εβ[A␈α∂similar␈α∂p␈α␈roc␈α␈edu␈α␈re␈α∂c␈α␈an␈α∞be␈α∞use␈α␈d␈α∞when␈↓ εd␈ε	p␈↓ π∧␈εβ=␈α∂2:␈α∩In␈α∞this␈α∂c␈α␈ase␈↓ 	~␈εβgcd␈↓ 	X␈ε	w␈↓ 	q␈εβ(␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ),␈↓ 
-␈ε	T␈↓ 
D␈εβ(␈↓ 
O␈ε	t␈↓ 
[␈εβ(␈↓ 
f␈ε	y␈↓ 
y␈εβ)␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∃␈εβ)
␈β∞β␈↓ ↓H␈εβwill␈α
be␈αa␈α
no␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈αof␈↓ ∧y␈ε	w␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬.␈εβ)␈α
at␈α
lea␈α␈st␈α
ha␈α␈l␈α↓f␈α
o␈α␈f␈α
the␈αti␈α↓m␈α␈e,␈α∞wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ 	U␈ε	w␈↓ 	m␈εβ(␈↓ 	x␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α
h␈α␈as␈α
n␈α␈oth␈α␈-
␈β∞"␈↓ 	:␈ε
d␈↓ 	G␈ε≠␈␈επ1
␈β∞&␈↓ π3␈εε2␈↓ λβ␈εε4␈↓ 	-␈εε2
␈β∞*␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈α
b␈α␈ut␈α
line␈α␈ar␈α
fa␈α␈ctors␈α
o␈α}v␈α␈er␈↓ ∧V␈ε	F␈↓ ∧n␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈↓ ¬f␈ε	T␈↓ ¬⎇␈εβ(␈↓ ελ␈ε	x␈↓ ε~␈εβ)␈α=␈↓ ε↑␈ε	x␈↓ εx␈εβ+␈↓ π"␈ε	x␈↓ πH␈εβ+␈↓ πr␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λr␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	i␈εβ.␈α⊂F␈α↓o␈α␈r␈α
ex␈α␈actly
␈β∞O␈↓ ε
␈εα(␈↓ εO␈εα)␈↓ λ↔␈εα(␈↓ 	_␈εα)␈↓ 	u␈εα(␈↓ 
v␈εα)
␈β∞R␈↓ ↓H␈εβh␈α␈alf␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
elemen␈α}ts␈↓ βz␈ε	s␈↓ ∧λ␈εβ(␈↓ ∧∪␈ε	y␈↓ ∧%␈εβ)␈α
of␈↓ ∧f␈ε	F␈↓ ¬
␈εβsatisfy␈↓ ¬v␈ε	T␈↓ ε→␈ε	s␈↓ ε'␈εβ(␈↓ ε2␈ε	y␈↓ εD␈εβ)␈↓ εh␈εβ=␈α0,␈α∞a␈α␈nd␈↓ π␈␈ε	T␈↓ λ#␈ε	s␈↓ λ:␈εβ(␈↓ λE␈ε	y␈↓ λX␈εβ)␈↓ λc␈ε	t␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	y␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	0␈εβ=␈↓ 	↑␈ε	T␈↓ 
↓␈ε	s␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	y␈↓ 
6␈εβ)␈↓ 
A␈ε	t␈↓ 
M␈εβ(␈↓ 
X␈ε	y␈↓ 
k␈εβ)␈↓ ∂␈εβi{
␈β∞]␈↓ λ.␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈β∞w␈↓ ↓←␈εα(␈↓ βf␈εα)
␈β∞z␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓k␈εβ(␈↓ ↓v␈ε	s␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈ε	y␈↓ α+␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αf␈ε	s␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	y␈↓ β≤␈εβ))␈↓ β2␈ε	t␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	y␈↓ β[␈εβ)␈↓ β|␈εβ=␈α	0.]
␈β∂∧␈↓ α↓␈εε1␈↓ αr␈εε2
␈β∂
␈↓ ∧B␈ε↓Q
␈β∂'␈↓ βB␈εn
␈β∂+␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ(a)␈α	Clearly␈↓ β1␈ε	x␈↓ βX␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	=␈↓ ¬⊗␈εβ␈	␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬D␈ε	x␈↓ ¬U␈εβ),␈α
since␈α	ev␈α}ery␈α	co␈α␈mplex␈↓ λ≥␈ε	n␈↓ λ1␈εβt␈α␈h␈α	root␈α	of␈α	un␈α␈ity␈α	is␈α
a␈α	p␈α␈rimi-
␈β∂6␈↓ ¬*␈εd
␈β∂>␈↓ ∧d␈εd␈↓ ∧s␈ε~∧␈↓ ¬␈εn
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβtiv␈α}e␈↓ α␈ε	d␈↓ α≡␈εβth␈α
root␈α
for␈α
some␈α
un␈α␈iqu␈α␈e␈↓ ¬∞␈ε	d␈↓ ¬)␈ε↔∧␈↓ ¬C␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ.␈α∪Th␈α␈e␈α∞sec␈α␈ond␈α
id␈α␈en␈α␈tity␈α
follo␈α␈ws␈α∞fro␈α␈m␈α∞t␈α␈he␈α
|rst;␈α∂a␈α␈nd
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α	␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈αin␈α}teger␈α
co␈α␈e}cien␈α}ts␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈α
i␈α↓s␈α
ex␈α␈pr␈α␈essed␈α
in␈α
te␈α␈rms␈α
of␈α
pro␈α␈du␈α␈cts␈α
an␈α␈d␈α
qu␈α␈otien␈α␈ts␈α
o␈α␈f
␈β⊂
␈↓ ↓\␈εn
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβm␈α␈onic␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
with␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α≤(b)␈αThe␈αcon␈α␈dition␈αin␈αth␈α␈e␈α
h␈α␈in␈α␈t␈α
su␈α␈}ce␈α␈s␈α
to
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ αj␈ε	f␈↓ αz␈εβ(␈↓ β¬␈ε	x␈↓ β⊗␈εβ)␈α	=␈↓ βU␈εβ␈	␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ),␈αso␈αw␈α␈e␈αsh␈α␈all␈αtak␈α}e␈αth␈α␈e␈αh␈α␈i␈α↓n␈α}t.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ λ␈ε	p␈↓ λ(␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
divid␈α␈e␈↓ 
⊂␈ε	n␈↓ 
$␈εβ,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊂Z␈↓ βi␈εn
␈β⊂r␈↓ α⊗␈εn␈↓ β≡␈εn␈↓ β/␈ε~␈␈εε1␈↓ εI␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	x␈↓ α/␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ αy␈ε	n␈↓ β
␈ε	x␈↓ βT␈εβ)␈α
=␈α∞1␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬1␈ε	p␈↓ ¬B␈εβ,␈α∞he␈α␈nce␈↓ ε8␈ε	x␈↓ εb␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
i␈α↓s␈α
sq␈α␈uare␈α␈free␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 	f␈ε	p␈↓ 	w␈εβ.␈α∩Giv␈α}en␈↓ 
u␈ε	f␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊃~␈↓ 
∨␈εp
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	⊂␈↓ α#␈εβas␈αin␈αthe␈αh␈α␈in␈α␈t,␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧/␈ε	g␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ)␈αbe␈αth␈α␈e␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αf␈α↓a␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ λλ␈εβ␈	␈↓ λ-␈εβ(␈↓ λ8␈ε	x␈↓ λJ␈εβ)␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ 	v␈ε	g␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	⊂␈↓ 
-␈εβ)␈α=␈α0␈α␈.␈α∞If
␈β⊃)␈↓ λ≥␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα14␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ α3␈ε	f␈↓ αC␈εβ(␈↓ αN␈ε	x␈↓ α←␈εβ)␈α	then␈αλbot␈α␈h␈↓ ∧	␈ε	f␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	x␈↓ ∧6␈εβ)␈α	an␈α␈d␈↓ ¬	␈ε	g␈↓ ¬_␈εβ(␈↓ ¬$␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ)␈α	are␈α	d␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct␈α	factor␈α␈s␈α
o␈α␈f␈↓ λε␈εβ␈	␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	x␈↓ λG␈εβ),␈α
h␈α␈ence␈α	th␈α␈ey␈α	a␈α␈re␈α	distinc␈α␈t
␈βα5␈↓ λ~␈εn
␈βαN␈↓ αg␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctors␈αλof␈↓ αV␈ε	x␈↓ α{␈ε↔␈␈εβ␈α∧1,␈α	hen␈α␈ce␈αλth␈α␈ey␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλn␈α␈o␈αλi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αλfacto␈α␈rs␈α	in␈αλco␈α␈mmo␈α␈n␈αλmod␈α␈ulo␈↓ 
∧␈ε	p␈↓ 
∃␈εβ.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,
␈βαu␈↓ ↓U␈εp␈↓ βE␈εp␈↓ ¬L␈εp
␈βαv␈↓ ∧N␈εα(␈↓ ¬e␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	⊂␈↓ ↓n␈εβi␈α↓s␈αa␈αro␈α␈ot␈αof␈↓ β→␈ε	f␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βS␈εβ),␈αso␈↓ ∧≤␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧Z␈ε	g␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ),␈↓ ¬ ␈ε	f␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬;␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβ)␈↓ ¬z␈ε↔≤␈εβ␈α
1␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α}tegers,␈αhe␈α␈nce␈↓ 	$␈ε	g␈↓ 	3␈εβ(␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 	P␈εβ)␈αis␈αa␈α
divisor␈αo␈α␈f
␈ββ≥␈↓ ↓t␈εp␈↓ ¬p␈εp
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ αα␈εβ).␈α⊃B␈α↓y␈α(5),␈↓ β≠␈ε	g␈↓ β+␈εβ(␈↓ β6␈ε	x␈↓ βG␈εβ)␈α∞is␈α
a␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈α
of␈↓ ¬9␈ε	f␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	x␈↓ ¬e␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ,␈α∞mod␈α␈ulo␈↓ π∞␈ε	p␈↓ π∨␈εβ,␈α
con␈α␈t␈α␈radictin␈α␈g␈α
the␈α
a␈α␈ssum␈α␈ption␈αtha␈α␈t
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ αR␈ε	g␈↓ αb␈εβ(␈↓ αm␈ε	x␈↓ α}␈εβ)␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∂n␈α␈o␈α∞i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α∂fa␈α␈ctors␈α∞in␈α∂c␈α␈ommo␈α␈n.␈α∃Therefo␈α␈re␈↓ 	∪␈ε	f␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	.␈ε	x␈↓ 	?␈εβ)␈α∂=␈↓ 
	␈ε	g␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
6␈εβ).␈α [The
␈ββp␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈il␈α↓ity␈α
o␈α␈f␈↓ β;␈εβ␈	␈↓ β`␈εβ(␈↓ βk␈ε	x␈↓ β|␈εβ)␈α∞was␈α
|rs␈α␈t␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞p␈α␈rime␈↓ π%␈ε	n␈↓ πG␈εβb␈α␈y␈α
K.␈α∞F.␈α∞Gau␈α␈ss␈α
i␈α↓n␈ε⊂␈α
Disq␈α␈uisiti␈α↓o␈α␈ne␈α␈s
␈ββ{␈↓ βP␈εn
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε⊂Arith␈α␈metic≤␈εβ␈α(Leipzig␈α␈,␈α1␈α␈801␈α␈),␈αArt.␈α341␈α␈,␈αand␈α
for␈α
gen␈α␈eral␈↓ πc␈ε	n␈↓ λα␈εβb␈α␈y␈α
L␈α↓.␈αKro␈α␈ne␈α␈ck␈α␈er,␈ε⊂␈αJ␈α␈.␈αde␈α
Math␈α␈.
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε⊂Pu␈α␈res␈αet␈αApp␈α␈li␈α↓q␈α␈u␈↓ β;␈ε⊂∞␈↓ β<␈ε⊂e␈↓ βK␈ε⊂e␈α␈s␈ε∪␈α19␈εβ␈α(18␈α␈54),␈α17␈α␈7↑1␈α␈92.]
␈β∧c␈↓ 	`␈εp␈↓ 	n␈ε~␈␈εε1
␈β∧g␈↓ α␈εβ(c)␈↓ α>␈εβ␈	␈↓ α←␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈α=␈↓ β?␈ε	x␈↓ βY␈ε↔␈␈εβ␈αλ1;␈α
an␈α␈d␈α
wh␈α␈en␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬a␈εβi␈α↓s␈αprime␈α␈,␈↓ εm␈εβ␈	␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈α=␈α1␈αλ+␈↓ λ3␈ε	x␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	%␈εβ+␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 
∀␈εβ.␈α∂I␈α↓f␈↓ 
O␈ε	n␈↓ 
o␈εβ>␈α1
␈β∧r␈↓ αR␈εε1␈↓ πα␈εp
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α␈,␈α∂it␈α∞is␈α∞n␈α␈ot␈α∞d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t␈α
to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈↓ ε∂␈εβ␈	␈↓ ε@␈εβ(␈↓ εK␈ε	x␈↓ ε]␈εβ)␈α
=␈↓ π$␈εβ␈	␈↓ πI␈εβ(␈ε↔␈␈↓ πv␈ε	x␈↓ λπ␈εβ).␈α∪I␈α↓f␈↓ λR␈ε	p␈↓ λq␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ 	e␈ε	n␈↓ 	y␈εβ,␈α∞the␈α
seco␈α␈nd
␈β¬→␈↓ ε#␈εε2␈↓ ε0␈εn␈↓ π9␈εn
␈β¬2␈↓ ε≥␈εp
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈αin␈α(a␈α␈)␈α
sh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ∧J␈εβ␈	␈↓ ∧⎇␈εβ(␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬→␈εβ)␈α=␈↓ ¬\␈εβ␈	␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε+␈εβ).␈α∂If␈↓ εp␈ε	p␈↓ π∞␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈↓ λz␈ε	n␈↓ 	∞␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
&␈εβ␈	␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β¬A␈↓ ∧←␈εp␈↓ ∧m␈εn␈↓ ¬q␈εn␈↓ 
:␈εp␈↓ 
H␈εn
␈β¬Z␈↓ α	␈εp␈↓ λ∞␈εε2␈↓ 

␈εε2
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α↔␈εβ)/␈↓ α3␈εβ␈	␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	x␈↓ αt␈εβ).␈α∪For␈α∞n␈α␈on␈α␈prime␈↓ ∧s␈ε	n␈↓ ¬∃␈ε↔∀␈εβ␈α∞1␈α␈5␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈↓ εx␈εβ␈	␈↓ π→␈εβ(␈↓ π$␈ε	x␈↓ π5␈εβ)␈α∞=␈↓ π⎇␈ε	x␈↓ λ$␈εβ+␈α
1␈α␈,␈↓ λw␈εβ␈	␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	#␈ε	x␈↓ 	4␈εβ)␈α∞=␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
#␈ε↔␈␈↓ 
N␈ε	x␈↓ 
h␈εβ+␈α
1␈α␈,
␈β¬h␈↓ ↓\␈εn␈↓ αG␈εn␈↓ π␈εε4␈↓ 	␈εε6
␈βε↓␈↓ αb␈εε4␈↓ ∧i␈εε6␈↓ ¬<␈εε3␈↓ πN␈εε4␈↓ λ!␈εε3␈↓ λu␈εε2
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓i␈εβ(␈↓ ↓t␈ε	x␈↓ α¬␈εβ)␈α⊂=␈↓ αQ␈ε	x␈↓ αx␈εβ+␈α1␈α␈,␈↓ βM␈εβ␈	␈↓ βp␈εβ(␈↓ β{␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α⊂=␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧␈␈εβ+␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬S␈εβ+␈α
1␈α␈,␈↓ ε'␈εβ␈	␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εr␈εβ)␈α∂=␈↓ π=␈ε	x␈↓ πe␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λ8␈εβ+␈↓ λc␈ε	x␈↓ 	␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	x␈↓ 	Q␈εβ+␈α1␈α␈,␈↓ 
&␈εβ␈	␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈βε⊂␈↓ ↓\␈εε8␈↓ βb␈εp␈↓ ε<␈εε10␈↓ 
;␈εε1␈α␈4
␈βε)␈↓ ↓Y␈εε6␈↓ α"␈εε5␈↓ αj␈εε4␈↓ β3␈εε3␈↓ β|␈εε2␈↓ ε-␈εε8␈↓ εv␈εε7␈↓ π>␈εε5␈↓ λπ␈εε4␈↓ λP␈εε3
␈βε-␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓j␈ε↔␈␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α3␈εβ+␈↓ αY␈ε	x␈↓ α|␈ε↔␈␈↓ β"␈ε	x␈↓ βD␈εβ+␈↓ βj␈ε	x␈↓ ∧
␈ε↔␈␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ+␈α¬1,␈↓ ¬∩␈εβ␈	␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	x␈↓ ¬]␈εβ)␈α	=␈↓ ε≤␈ε	x␈↓ ε>␈ε↔␈␈↓ εd␈ε	x␈↓ ππ␈εβ+␈↓ π-␈ε	x␈↓ πP␈ε↔␈␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ_␈εβ+␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λa␈ε↔␈␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	≥␈εβ+␈α¬1.␈α∀[The␈α	fo␈α␈rm␈α␈ula
␈βε8␈↓ ¬'␈εε15
␈βεP␈↓ β.␈εp␈↓ ∧S␈εε(␈↓ ∧[␈εq␈↓ ∧g␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬∃␈εp␈↓ εC␈εq
␈βεU␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	x␈↓ α∪␈εβ)␈α	=␈α	(␈α↓1␈αε+␈↓ β≥␈ε	x␈↓ βC␈εβ+␈↓ βk␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧→␈εβ+␈↓ ∧A␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ)(␈↓ ¬9␈ε	x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈απ1)/␈α␈(␈↓ ε2␈ε	x␈↓ εV␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αu␈α␈sed␈α
to␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ 
≤␈εβ␈	␈↓ 
J␈εβ(␈↓ 
U␈ε	x␈↓ 
f␈εβ)␈αha␈α␈s
␈βε←␈↓ ↓\␈εp␈↓ ↓j␈εq␈↓ 
0␈εp␈↓ 
>␈εq
␈βε|␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓1␈αor␈α0␈αwh␈α␈en␈↓ ∧{␈ε	p␈↓ ¬_␈εβand␈↓ ¬Z␈ε	q␈↓ ¬u␈εβare␈αprime;␈αbu␈α␈t␈αthe␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αof␈↓ 	←␈εβ␈	␈↓ 
~␈εβ(␈↓ 
%␈ε	x␈↓ 
6␈εβ)␈αcan␈αbe
␈βππ␈↓ 	s␈εp␈↓ 
↓␈εq␈↓ 

␈εr
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rbitrar␈α␈i␈α↓ly␈αla␈α␈rge.]
␈βπ8␈↓ ∧u␈ε↓Q
␈βπQ␈↓ ε6␈εk
␈βπR␈↓ ε∨␈εj
␈βπV␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβThe␈α
ex␈α␈act␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α
is␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	a␈↓ ¬⎇␈εβ/␈↓ ε∞␈ε	p␈↓ ε+␈εβ)␈↓ εN␈εβ/␈↓ ε↑␈ε	k␈↓ εy␈εβ!,␈αwhere␈↓ πv␈ε	k␈↓ λ≠␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈↓ 
∪␈ε	d␈↓ 
8␈εβequ␈α␈al␈αto
␈βπY␈↓ εB␈ε
j
␈βπa␈↓ ¬c␈εj␈↓ ¬o␈εp␈↓ εm␈εj␈↓ λ¬␈εj␈↓ 
#␈εi
␈βπi␈↓ ¬↔␈εj␈↓ ¬#␈ε~∃␈εε1
␈βλα␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓W␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ αB␈ε	a␈↓ αu␈ε↔→␈εβ␈α	1/␈↓ β@␈ε	j␈↓ βZ␈εβby␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈,␈αw␈α␈e␈αg␈α␈et␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
of␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α1.3.3↑␈α␈21.
␈βλ␈↓ αQ␈εj␈↓ α]␈εp
␈βλ)␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂This␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈αsay␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
|x␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ∀␈εβa␈α␈nd␈αlet␈α
th␈α␈e␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ 
q␈ε	u␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βλQ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α∞ra␈α␈nd␈α␈om,␈α∞it␈α∞wil␈α↓l␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞ce␈α␈rtain␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
of␈α
splitting␈α
i␈α↓n␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α∞wa␈α␈y␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 
g␈ε	p␈↓ 
x␈εβ.␈α∪A
␈βλy␈↓ ↓H␈εβm␈α}uch␈αh␈α␈ard␈α␈er␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈αis␈αto␈α|␈α␈x␈αthe␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈αan␈α␈d␈αto␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ λR␈ε	p␈↓ λn␈εβbe␈α\ran␈α␈do␈α␈m";␈αb␈α␈ut␈αthe
␈β	 ␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈α	asy␈α␈mpt␈α␈otic␈α	result␈α	ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈lmost␈α	all␈↓ ε<␈ε	u␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ εl␈εβ):␈α∃G.␈α
Fro␈α␈ben␈α␈ius␈α	pro␈α}v␈α␈ed␈α	in␈α	1␈α␈880␈α	th␈α␈at␈α	the
␈β	H␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ βc␈ε	u␈↓ βw␈εβ(␈↓ ∧α␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ)␈αsp␈α␈l␈α↓its␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬x␈ε	p␈↓ ε∃␈εβin␈α␈to␈αfac␈α␈tors␈αof␈αd␈α␈egree␈α␈s␈↓ λc␈ε	d␈↓ λ␈␈εβ,␈↓ 	∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	@␈εβ,␈↓ 	U␈ε	d␈↓ 	q␈εβ,␈αwhe␈α␈n␈↓ 
]␈ε	p␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈β	R␈↓ λr␈εε1␈↓ 	e␈εr
␈β	o␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈α	prime␈α	c␈α␈ho␈α␈sen␈α	at␈α	ra␈α␈nd␈α␈om,␈α
with␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α	e␈α␈qua␈α␈l␈α
to␈αλthe␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	of␈α	pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tions␈α	in
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλGalois␈αλgro␈α␈up␈↓ β<␈ε	G␈↓ β↑␈εβo␈α␈f␈↓ ∧α␈ε	u␈↓ ∧⊗␈εβ(␈↓ ∧!␈ε	x␈↓ ∧2␈εβ)␈α	h␈α␈av␈α␈ing␈αλcy␈α}cle␈αλleng␈α␈ths␈ε↔␈αλf␈↓ π␈ε	d␈↓ π≤␈εβ,␈↓ π+␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πW␈εβ,␈↓ πf␈ε	d␈↓ λβ␈ε↔g␈εβ␈απdivid␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈αλthe␈αλto␈α␈tal␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
"␈↓ π∂␈εε1␈↓ πu␈εk
␈β
?␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tions␈α
in␈↓ βh␈ε	G␈↓ ∧↓␈εβ.␈α≡[If␈↓ ∧U␈ε	u␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈α∞ratio␈α␈nal␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
and␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈ti␈α↓n␈α␈ct␈α∞ro␈α␈ots␈↓ 
_␈ε	_␈↓ 
3␈εβ,␈↓ 
J␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ∞␈ε	_
␈β
I␈↓ 
&␈εε1␈↓ ≤␈εn
␈β
f␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
th␈α␈e␈α
com␈α␈plex␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers,␈α
i␈α↓ts␈α
G␈α␈alois␈α
grou␈α␈p␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
(un␈α␈i␈α↓q␈α␈ue)␈α
g␈α␈rou␈α␈p␈↓ 	≡␈ε	G␈↓ 	D␈εβof␈α
p␈α␈erm␈α␈ut␈α␈ation␈α␈s
␈β
p␈↓ ∧K␈ε↓Q
␈β␈↓ εβ␈εα(␈↓ 	⊂␈εα)
␈β∞␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈α∞t␈α␈he␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ε∂␈ε	z␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εP␈ε	_␈↓ π	␈ε	y␈↓ π/␈εβ+␈↓ πY␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ	␈εβ+␈↓ λ3␈ε	_␈↓ λp␈ε	y␈↓ 	*␈εβ=␈↓ 	X␈ε	U␈↓ 	s␈εβ(␈↓ 	}␈ε	z␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
≠␈ε	y␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
F␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
s␈εβ,␈↓ ↓␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈β_␈↓ π→␈εε1␈↓ 	␈εn␈↓ 
+␈εε1␈↓ ⊃␈εn
␈β~␈↓ ε↑␈εp␈↓ εl␈εε(1)␈↓ λA␈εp␈↓ λO␈εε(␈↓ λW␈εn␈↓ λh␈εε)
␈β ␈↓ ∧m␈εp␈↓ ∧{␈εε(1)␈↓ ¬_␈εε...␈↓ ¬-␈εp␈↓ ¬;␈εε(␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬T␈εε)␈ε~2␈↓ ¬p␈εG
␈β;␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αration␈α␈al␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αa␈α␈nd␈αis␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αrat␈α␈i␈α↓o␈α␈nals.]␈α~Furth␈α␈ermor␈α␈e␈αB.␈αL.␈αv␈α␈an
␈βb␈↓ ↓H␈εβd␈α␈er␈α
Waerd␈α␈en␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈α
in␈α193␈α␈4␈α
tha␈α␈t␈α
almo␈α␈st␈α
all␈α∞p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
o␈α␈f␈α
deg␈α␈ree␈↓ 	.␈ε	n␈↓ 	O␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
set␈α
o␈α␈f
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓w␈ε	n␈↓ α␈εβ!␈αper␈α␈m␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈s␈αtheir␈αGalo␈α␈i␈α↓s␈αg␈α␈rou␈α␈p.␈α∞There␈α␈fore␈αalmo␈α␈st␈αall␈α|x␈α}ed␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αpoly␈α␈-
␈β2␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ αB␈ε	u␈↓ αV␈εβ(␈↓ αa␈ε	x␈↓ αr␈εβ)␈αwi␈α↓ll␈αfacto␈α␈r␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αmigh␈α}t␈αe␈α␈xp␈α␈ect␈αth␈α␈em␈αto,␈αwith␈αresp␈α␈ect␈αto␈α
ran␈α␈dom␈α␈l␈α↓y␈α
cho␈α␈sen
␈βY␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈α	p␈α␈rimes␈↓ β␈ε	p␈↓ β⊃␈εβ.␈α∪Referen␈α␈ces:␈ε⊂␈α
S␈α␈i␈α↓t␈α␈zun␈α␈gsb␈α␈erich␈α␈te␈αλK␈↓ εk␈ε⊂∪␈↓ εk␈ε⊂o␈↓ ε|␈ε⊂n␈α␈i␈α↓g␈α␈l␈α↓.␈α	Preu␈α␈≠.␈α	Ak␈α␈ad␈α␈.␈α	W␈α↓iss.␈εβ␈α	(Berlin,␈α	189␈α␈6),
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈89↑␈α␈703␈↓ α<␈εβ;␈ε⊂␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αAn␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈34),␈α13␈α␈↑16␈α␈.
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓αβλ	∩∪01@ABCPQRR/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=(),.0123456789ACEFGHIMNOPRSTUVW↑abcdefghilmnoprsuyy/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=	∂∩_!"'()+,-./0123456789:;<=>ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=00/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,./0123456789<=[]degimnoo/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=1233/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=∞∂⊂∩⊗_≠≡#ABCDEFGHIMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijkmnpqrstuvwxyz{⎇⎇/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=
∞EGNTadeijkmnpqrstuvww/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=dejkmnprtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ACEINORSTWXX/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∞∂∪≠≤.1689:ACDFGIJKMNPRSTWabcdefghiklmnopqrstuvyzz/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789ACSTghilmortt/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=ADNN/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓α∧ε⊃∀∃→≤ !-12G←bcdefgjpp/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∧∀∃≤!012bcdee/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.1246CEINOSTT